【正文】 高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)必修④第一章 三角函數(shù)．1 任意角教學(xué)目標(biāo)（一） 知識(shí)與技能目標(biāo)理解任意角的概念(包括正角、負(fù)角、零角) 與區(qū)間角的概念.（二） 過(guò)程與能力目標(biāo)會(huì)建立直角坐標(biāo)系討論任意角,能判斷象限角,會(huì)書(shū)寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角的集合的書(shū)寫．（三） 情感與態(tài)度目標(biāo)1． 提高學(xué)生的推理能力；　　2．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)．教學(xué)重點(diǎn) 任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書(shū)寫．教學(xué)難點(diǎn)終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書(shū)寫．教學(xué)過(guò)程一、引入：1．回顧角的定義①角的第一種定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．二、新課：1．角的有關(guān)概念：①角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．始邊終邊頂點(diǎn)AOB②角的名稱：③角的分類：負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角 正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角：射線沒(méi)有任何旋轉(zhuǎn)形成的角④注意：⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡(jiǎn)化成“α ”；⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0176。；⑶角的概念經(jīng)過(guò)推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角．⑤練習(xí)：請(qǐng)說(shuō)出角α、β、γ各是多少度?2．象限角的概念：①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除外)在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．例1．如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？⑵B1y⑴Ox45176。B2OxB3y30176。60o例2．在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角．⑴ 60176。； ⑵ 120176。； ⑶ 240176。； ⑷ 300176。； ⑸ 420176。； ⑹ 480176。；答：分別為2象限角．3．探究：教材P3面終邊相同的角的表示：所有與角α終邊相同的角，連同α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{ β | β = α + k360 176。 ，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個(gè)周角的和．注意：⑴ k∈Z⑵ α是任一角；⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無(wú)限個(gè)，它們相差360176。的整數(shù)倍；⑷ 角α + k720 176。與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角．例3．在0176。到360176。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．⑴－120176。；⑵640 176。；⑶－950176。12＇．答：⑴240176。,第三象限角；⑵280176。,第四象限角；⑶129176。48＇,第二象限角；例4．寫出終邊在y軸上的角的集合(用0176。到360176。的角表示) ．解:{α | α = 90176。+ n180176。,n∈Z}．例5．寫出終邊在上的角的集合S,并把S中適合不等式－360176?！堞拢?20176。的元素β寫出來(lái)．4．課堂小結(jié)①角的定義；②角的分類：負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角 正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角：射線沒(méi)有任何旋轉(zhuǎn)形成的角③象限角；④終邊相同的角的表示法．5．課后作業(yè)：①閱讀教材P2P5；　?、诮滩腜5練習(xí)第15題；　?、?、3題思考題：已知α角是第三象限角，則2α，各是第幾象限角？解：角屬于第三象限， k360176。+180176。＜α＜k360176。+270176。(k∈Z)因此，2k360176。+360176。＜2α＜2k360176。+540176。(k∈Z)即(2k +1)360176。＜2α＜(2k +1)360176。+180176。(k∈Z)故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角．又k180176。+90176。＜＜k180176。+135176。(k∈Z) ．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k=2n(n∈Z)，則n360176。+90176。＜＜n360176。+135176。(n∈Z) ，此時(shí)，屬于第二象限角當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k=2n+1 (n∈Z)，則n360176。+270176。＜＜n360176。+315176。(n∈Z) ，此時(shí)，屬于第四象限角因此屬于第二或第四象限角．教學(xué)目標(biāo)（四） 知識(shí)與技能目標(biāo)理解弧度的意義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的可建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角的弧度數(shù)．（五） 過(guò)程與能力目標(biāo)能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題（六） 情感與態(tài)度目標(biāo)通過(guò)新的度量角的單位制(弧度制)的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神；通過(guò)對(duì)弧度制與角度制下弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的對(duì)比，讓學(xué)生感受弧長(zhǎng)及扇形面積公式在弧度制下的簡(jiǎn)潔美．教學(xué)重點(diǎn)弧度的概念．弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明．教學(xué)難點(diǎn)“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系．教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)角度制：初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的? 規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制．二、新課：1．引　入：由角度制的定義我們知道,角度是用來(lái)度量角的, 角度制的度量是60進(jìn)制的,—弧度制，它是如何定義呢？2．定 義我們規(guī)定,長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略．3．思考：（1）一定大小的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？（2）引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納：弧度制的性質(zhì)：①半圓所對(duì)的圓心角為 ②整圓所對(duì)的圓心角為③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)． ④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)．⑤零角的弧度數(shù)是零． ⑥角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|=4．角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換： ①將角度化為弧度：； ；；．②將弧度化為角度：；；；．5．常規(guī)寫法：① 用弧度數(shù)表示角時(shí),常常把弧度數(shù)寫成多少π 的形式, 不必寫成小數(shù)． ② 弧度與角度不能混用．6．特殊角的弧度角度0176。30176。45176。60176。90176。120176。135176。150176。180176。270176。360176?；《?7．弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積．例1．把67176。30＇化成弧度．例2．把化成度．例3．計(jì)算：；．例4．將下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：；．例5．將下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并確定其所在的象限．；．解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角.(2) 是第二象限角. 證法一:∵圓的面積為,∴圓心角為1rad的扇形面積為,又扇形弧長(zhǎng)為l,半徑為R, ∴扇形的圓心角大小為rad, ∴扇形面積．證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則在角度制下的扇形面積公式為，又此時(shí)弧長(zhǎng)，∴．可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡(jiǎn)潔得多．7．課堂小結(jié)①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系與區(qū)別．8．課后作業(yè)：①閱讀教材P6 –P8；②教材P9練習(xí)第6題；③教材P10面8題及B3題．（1）教學(xué)目的：知識(shí)目標(biāo)：；，會(huì)求角α的各三角函數(shù)值；、值域，誘導(dǎo)公式（一）。能力目標(biāo)：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2）樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；（3）通過(guò)對(duì)定義域，三角函數(shù)值的符號(hào)，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問(wèn)題的能力。 德育目標(biāo)： （1）使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)），以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來(lái). 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？在Rt△ABC中，設(shè)A對(duì)邊為a，B對(duì)邊為b，C對(duì)邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為 ．角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。二、講解新課： 1．三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，α終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么（1）比值叫做α的正弦，記作，即；（2）比值叫做α的余弦，記作，即；（3）比值叫做α的正切，記作，即；（4）比值叫做α的余切，記作，即；說(shuō)明：①α的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，α的終邊沒(méi)有表明α一定是正角或負(fù)角，以及α的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置； ②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角α，四個(gè)比值不以點(diǎn)在α的終邊上的位置的改變而改變大??；③當(dāng)時(shí)，α的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以無(wú)意義；同理當(dāng)時(shí)，無(wú)意義；④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值α，比值、分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。函 數(shù)定 義 域值 域2．三角函數(shù)的定義域、值域注意：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.(2) α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無(wú)關(guān).(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“α”.(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的,，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過(guò)程.(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.3．例題分析例1．求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值： （通過(guò)本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）（1）； （2）； （3）． 解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以， ， ， 不存在。（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以， ， ， 不存在，（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以， ， 不存在， ，例2．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)函數(shù)值。解：因?yàn)?，所以，于是? ；； ． 例3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)三角函數(shù)值。解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以， 當(dāng)；；當(dāng)；； ．4．三角函數(shù)的符號(hào)由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）；②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）；③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）．說(shuō)明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。練習(xí)： 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）； （2）； （3）； （4）．例4．求證：若且，則角是第三象限角，反之也成立。5．誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：，其中．，這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問(wèn)題．例5．求下列三角函數(shù)的值：（1）， （2），例6．求函數(shù)的值域解： 定義域：cosx185。0 ∴x的終邊不在x軸上 又∵tanx185。0 ∴x的終邊不在y軸上∴當(dāng)x是第Ⅰ象限角時(shí)， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2…………ⅢⅣ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．任意角的三角函數(shù)的定義；2．三角函數(shù)的定義域、值域；3．三角函數(shù)的符號(hào)及誘導(dǎo)公式。五、鞏固與練習(xí)教材P15面練習(xí)；作業(yè)P20面習(xí)題1．２A組第3（1）（2）（3）題及P21面第9題的（1）、（3）題。 （2）教學(xué)目的：知識(shí)目標(biāo)：、定義域與值域、符號(hào)、及誘導(dǎo)公式； 、余弦、正切的三角函數(shù)值； 。 能力目標(biāo)：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義域、值域有更深的理解。 德