同濟第六版高等數(shù)學教案word版-第04章不定積分(已修改)
2025-04-28 22:33 本頁面
【正文】 高等數(shù)學教案 第四章 不定積分 第四章 不定積分教學目的： 理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。教學重點： 不定積分的概念； 不定積分的性質(zhì)及基本公式； 換元積分法與分部積分法。教學難點： 換元積分法； 分部積分法； 三角函數(shù)有理式的積分。167。4. 1 不定積分的概念與性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分的概念 定義1 如果在區(qū)間I上, 可導函數(shù)F(x)的導函數(shù)為f(x), 即對任一x206。I, 都有F 162。(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù). 例如 因為(sin x)162。=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函數(shù). 又如當x 206。(1, +165。)時, 因為, 所以是的原函數(shù). 提問: cos x和還有其它原函數(shù)嗎？ 原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F(x), 使對任一x 206。I 都有F 162。(x)=f(x). 簡單地說就是: 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). 兩點說明: 第一, 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x), 那么f(x)就有無限多個原函數(shù), F(x)+C都是f(x)的原函數(shù), 其中C是任意常數(shù). 第二, f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù), 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù), 則F(x)F(x)=C (C為某個常數(shù)). 定義2 在區(qū)間I上, 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )在區(qū)間I上的不定積分, 記作 . 其中記號稱為積分號, f(x)稱為被積函數(shù), f(x)dx稱為被積表達式, x 稱為積分變量. 根據(jù)定義, 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù), 那么F(x)+C就是f(x)的不定積分, 即. 因而不定積分可以表示f(x)的任意一個原函數(shù). 例1. 因為sin x 是cos x 的原函數(shù), 所以 . 因為是的原函數(shù), 所以 . 例2. 求函數(shù)的不定積分. 解：當x0時, (ln x)162。, (x0)。 當x0時, [ln(x)]162。, (x0). 合并上面兩式, 得到 (x185。0). 例3 設曲線通過點(1, 2), 且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程. 解 設所求的曲線方程為y=f(x), 按題設, 曲線上任一點(x, y)處的切線斜率為y162。=f 162。(x)=2x, , 即f(x)是2x 的一個原函數(shù). 因為 , 故必有某個常數(shù)C使f(x)=x 2+C, 即曲線方程為y=x 2+C. 因所求曲線通過點(1, 2), 故2=1+C, C=1. 于是所求曲線方程為y=x2+1. 積分曲線: 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線. 從不定積分的定義, 即可知下述關(guān)系: , 或 。 又由于F(x)是F 162。(x)的原函數(shù), 所以 , 或記作 . 由此可見, 微分運算（以記號d表示）
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