【正文】 第一章：線段、角、相交線、平行線知識(shí)點(diǎn)： 一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和“向兩方無(wú)限延伸”。 二、直線的性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質(zhì)是以公理的形式給出的，可簡(jiǎn)述為：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。 三、射線：射線的定義：直線上一點(diǎn)和它們的一旁的部分叫做射線。 2．射線的特征：“向一方無(wú)限延伸，它有一個(gè)端點(diǎn)?！? 四、線段： 線段的定義：直線上兩點(diǎn)和它之間的部分叫做線段，這兩點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。 線段的性質(zhì)（公理）：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。 五、線段的中點(diǎn)： 定義如圖1一1中，點(diǎn)B把線段AC分成兩條相等的線段，點(diǎn)B叫做線段圖1－1AC的中點(diǎn)。 表示法：∵AB＝BC∴點(diǎn) B為 AC的中點(diǎn) 或∵ AB＝ MAC ∴點(diǎn) B為AC的中點(diǎn)，或∵AC＝2AB，∴點(diǎn)B為AC的中點(diǎn) 反之也成立∵點(diǎn) B為AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC 或∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)， ∴AB= AC 或∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)， ∴AC=2BC六、角 角的兩種定義：一種是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角。要弄清定義中的兩個(gè)重點(diǎn)①角是由兩條射線組成的圖形；②這兩條射線必須有一個(gè)公共端點(diǎn)。另一種是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形?？梢钥闯鲈谄鹗嘉恢玫纳渚€與終止位置的射線就形成了一個(gè)角。 2．角的平分線定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。表示法有三種：如圖1—2 （1）∠AOC＝∠BOC （2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB（3）∠AOC＝∠COB=∠AOB 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。把一個(gè)圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。 八、角的分類(lèi)： （1）銳角：小于直角的角叫做銳角 （2）直角：平角的一半叫做直角 （3）鈍角：大于直角而小于平角的角 （4）平角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置和起始位置成一直線時(shí)，所成的角叫做平角。 （5）周角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。 （6）周角、平角、直角的關(guān)系是： l周角=2平角=4直角=360176。 九、相關(guān)的角： 對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。 互為補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角做互為補(bǔ)角。 互為余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角。 鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角做互為鄰補(bǔ)角。 注意：互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān)，而互為鄰補(bǔ)角則要求兩個(gè)角有特殊的位置關(guān)系。 十、角的性質(zhì) 對(duì)頂角相等。 同角或等角的余角相等。 同角或等角的補(bǔ)角相等。 十一、相交線 斜線：兩條直線相交不成直角時(shí)，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。它們的交點(diǎn)叫做斜足。 兩條直線互相垂直：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。 垂線：當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí)，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。 垂線的性質(zhì) （l）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直。 （2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)：垂線段最短。 十二、距離 兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)的距離。 從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離。 兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點(diǎn)向另一條直線引垂線，垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條平行線的距離。 說(shuō)明：點(diǎn)到直線的距離和平行線的距離實(shí)際上是兩個(gè)特殊點(diǎn)之間的距離，它們與點(diǎn)到直線的垂線段是分不開(kāi)的。 十三、平行線 定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。 平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 說(shuō)明：也可以說(shuō)兩條射線或兩條線段平行，這實(shí)際上是指它們所在的直線平行。 平行線的判定： （1）同位角相等，兩直線平行。 （2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。 （3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。 平行線的性質(zhì) （1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 （3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 說(shuō)明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時(shí)，則應(yīng)用性質(zhì)定理。 如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 注意：當(dāng)角的兩邊平行且方向相同（或相反）時(shí)，這兩個(gè)角相等。當(dāng)角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)。例題：方法1：利用特殊“點(diǎn)”和線段的長(zhǎng) 例已知：如圖1－3，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB的中點(diǎn)，BD＝。求：AD的長(zhǎng)。 [思路分析]由D是CB中點(diǎn)，DB已知可求出CB，再由C點(diǎn)是AB中點(diǎn)可求出AB長(zhǎng)，用AB減減去DB可求AD。解：略[規(guī)律總結(jié)]利用線段的特殊點(diǎn)如“中點(diǎn)”“比例點(diǎn)”求線段的長(zhǎng)的方法是較為簡(jiǎn)便的解法。 方法2：如何辨別角的個(gè)數(shù)與線段條數(shù)。 例如圖1－4在線段AE上共有5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E怎樣才數(shù)出所有線段， [思路分析]本問(wèn)題如不認(rèn)真審題會(huì)誤以為有4點(diǎn)恰有4個(gè)空就是4條線段即AB、BC、 CD、 ED；而如果從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)、再找出另一個(gè)端點(diǎn)確定線段，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有10條線段： 即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條。 [規(guī)律總結(jié)]此類(lèi)型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)，再找出另一個(gè)端點(diǎn)確定線段。 例如圖1一5指出圖形中直線AB上方角的個(gè)數(shù)（不含平角） [思路分析]此題有些同學(xué)不認(rèn)真分析誤認(rèn)為就4個(gè)角，其實(shí)共有9個(gè)角。即：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9個(gè)角。 [規(guī)律總結(jié)]從一個(gè)頂點(diǎn)引出多條射線時(shí)．為了確定角的個(gè)數(shù)，一般按邊順序分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，避免既不重復(fù)又不遺漏。 方法3：用代數(shù)法求角度 例已知一個(gè)銳角的余角，是這個(gè)銳角的補(bǔ)角的，求這個(gè)角。 [思路分析]本題涉及到的角是銳角同它的余角及補(bǔ)角。根據(jù)互為余角，互為補(bǔ)角的概念，考慮它們?cè)跀?shù)量上有什么關(guān)系？設(shè)銳角為x，則它的余角為90 – x 。，它的補(bǔ)角為180 – x，這就可以列方程了。解：略 [規(guī)律總結(jié)］有關(guān)余角、補(bǔ)角的問(wèn)題，一般都用代數(shù)方法先設(shè)未知數(shù)，再依題意列出方程，求出結(jié)果。 方法4：添加輔助線平移角 例已知：如圖l—6，AB∥ED 求證：∠B＋∠BCD＋∠D＝360176。 [思路分析]我們知道只有周角是等于360176。，而圖中又出現(xiàn)了與∠BCD相關(guān)的以C為頂點(diǎn)的周角，若能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點(diǎn)的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個(gè)角組成一分周角，則可推出結(jié)論。證時(shí)：略規(guī)律總結(jié)]此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過(guò)加輔助線，平移角達(dá)到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。幾何部分第二章：三角形知識(shí)點(diǎn)： 一、關(guān)于三角形的一些概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角。 三角形的角平分線。 三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離） 三角形的中線 三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距離） 3．三角形的高 三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離） 注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。 如圖 2－l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內(nèi) 如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內(nèi) 而圖2－3，說(shuō)明高線不一定在 △ABC內(nèi)， 圖2—3—（1） 圖2—3—（2） 圖2－3一（3）圖2－3—（1），中三條高線都在△ ABC內(nèi)， 圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內(nèi)，而高線AC與BC是三角形的邊； 圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內(nèi)，而高線AD、CF在△ABC外。 三、三角形三條邊的關(guān)系 三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。 等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。 三角形接邊相等關(guān)系來(lái)分類(lèi)： 三角形 用集合表示，見(jiàn)圖2－4 推論三角形兩邊的差小于第三邊。 不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。 例如三條線段長(zhǎng)分別為5，6，1人因?yàn)?＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。 三、三角形的內(nèi)角和 定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180176。 由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。 如已知△ABC的兩個(gè)角為∠A＝90176。，∠B＝40176。，則∠C＝180176。–90176。–40176。＝50176。 由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。 推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 三角形按角分類(lèi)： 用集合表示，見(jiàn)圖 三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。 推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 例如圖2—6中 ∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8； ∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。 四、全等三角形 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。 兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。 全等用符號(hào)“≌”表示