20xx專題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含近年高考試題)(已修改)
2025-04-28 08:53 本頁面
【正文】 2015專題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數(shù)在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則。 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D若D 恒成立則有(10)若對(duì)、 ，恒成立，則.若對(duì)，使得,則. 若對(duì)，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域?yàn)锳,，在區(qū)間上值域?yàn)锽，若對(duì),，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式:① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)幾何意義：角度一 求切線方程1．(2014洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線y＝x3上一點(diǎn)P(a，b)的切線方程為( )A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0解析：選A 由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，則a＝f′＝3－2sin＋2cos＝＝x3得y′＝3x2，過曲線y＝x3上一點(diǎn)P(a，b)的切線的斜率k＝3a2＝312＝＝a3，則b＝1，所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，故過曲線y＝x3上的點(diǎn)P的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二 求切點(diǎn)坐標(biāo)2．(2013遼寧五校第二次聯(lián)考)曲線y＝3ln x＋x＋2在點(diǎn)P0處的切線方程為4x－y－1＝0，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是( )A．(0,1) B．(1，－1)C．(1,3) D．(1,0)解析：選C 由題意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此時(shí)41－y－1＝0，解得y＝3，∴點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3)．角度三 求參數(shù)的值3．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與f(x)圖像的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m等于( )A．－1 B．－3C．－4 D．－2解析：選D ∵f′(x)＝，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m0，于是解得m＝－2，故選D.考點(diǎn)二：判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。[典例1]已知函數(shù)f(x)＝x2－ex試判斷f(x)的單調(diào)性并給予證明．解：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上單調(diào)遞減，f′(x)＝2x－ex，只要證明f′(x)≤0恒成立即可．設(shè)g(x)＝f′(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，當(dāng)x＝ln 2時(shí)，g′(x)＝0，當(dāng)x∈(－∞，ln 2)時(shí)，g′(x)0，當(dāng)x∈(ln 2，＋∞)時(shí)，g′(x)0.∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－20，∴f′(x)0恒成立，∴f(x)在R上單調(diào)遞減．[典例2] (2012北京高考改編)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a2＝4b時(shí)，求函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間．[解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，由已知可得解得a＝b＝3.(2)
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