20xx專題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含近年高考試題)-免費(fèi)閱讀
【正文】 ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，∵1a≤1＋e，∴a－10,1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．綜上，當(dāng)1≤a≤1＋e時(shí)，有f(x)≤x.法二：令g(a)＝x－f(x)＝－xa＋x＋ex，只要證明g(a)≥0在1≤a≤1＋e時(shí)恒成立即可．g(1)＝－x＋x＋ex＝ex0，①g(1＋e)＝－x(ax－1)≥0(x0)，即x≥，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a≥1.③當(dāng)a0時(shí)，f′(x)≤0(x0)等價(jià)于(2ax＋1)(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式:① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)幾何意義：角度一 求切線方程1．(20142015專題五：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線y＝x3上一點(diǎn)P(a，b)的切線方程為( )A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0解析：選A 由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，則a＝f′＝3－2sin＋2cos＝＝x3得y′＝3x2，過曲線y＝x3上一點(diǎn)P(a，b)的切線的斜率k＝3a2＝312＝＝a3，則b＝1，所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，故過曲線y＝x3上的點(diǎn)P的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二 求切點(diǎn)坐標(biāo)2．(2013(ax－1)≥0(x0)，即x≥－，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a≤－.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪[1，＋∞)．[針對訓(xùn)練](2014(1＋e)＋x＋ex＝ex－ex，設(shè)h(x)＝ex－ex，則h′(x)＝ex－e，當(dāng)x1時(shí)，h′(x)0；當(dāng)x1時(shí)，h′(x)0，∴h(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)≥h(1)＝e1－e河南省三市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ax－ex(a0)．(1)若a＝，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)1≤a≤1＋e時(shí)，求證：f(x)≤x.[解] (1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x－ex.f′(x)＝－ex，令f′(x)＝0，得x＝－ln 2.當(dāng)x－ln 2時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x－ln 2時(shí)，f′(x)0，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－ln 2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－ln 2，＋∞)．(2)證明：法一：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x，(ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，F(xiàn)(x)＝ex0，∴f(x)≤x成立．(ⅱ)當(dāng)1a≤1＋e時(shí)，F(xiàn)′(x)＝ex－(a－1)＝ex－eln(a－1)，∴當(dāng)xln(a－1)時(shí)，F(xiàn)′(x)0；當(dāng)xln(a－1)時(shí)，F(xiàn)′(x)0，∴F(x)在(－∞，ln (a－1))上單調(diào)遞減，在(ln(a－1)，＋∞)上單調(diào)遞增．∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)山西診斷)已知函數(shù)f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解] (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ln x－x2＋x，其定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋1＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，解得x＝－或x＝1.∵x0，∴x＝1.當(dāng)0x1時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f′(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)顯然函數(shù)f(x)＝ln x－a2x2＋ax的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴f′(x)＝－2a2
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