最新版北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)脈絡(luò)梳理最全(已修改)
2025-04-16 04:39 本頁(yè)面
【正文】 第一章：整式的運(yùn)算 單項(xiàng)式 整 式 多項(xiàng)式整 式 的 運(yùn) 算 同底數(shù)冪的乘法 冪的乘方 積的乘方 冪運(yùn)算 同底數(shù)冪的除法 零指數(shù)冪 負(fù)指數(shù)冪 整式的加減 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 整式的乘法 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 整式運(yùn)算 平方差公式 完全平方公式 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 整式的除法 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式一、單項(xiàng)式都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。只含有字母因式的單項(xiàng)式的系數(shù)是1或―1。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字是單項(xiàng)式，它的系數(shù)是它本身。單獨(dú)的一個(gè)非零常數(shù)的次數(shù)是0。單項(xiàng)式中只能含有乘法或乘方運(yùn)算，而不能含有加、減等其他運(yùn)算。單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào)。單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)化成假分?jǐn)?shù)。1單項(xiàng)式的系數(shù)是1或―1時(shí)，通常省略數(shù)字“1”。1單項(xiàng)式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項(xiàng)式的系數(shù)無(wú)關(guān)。二、多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)，就叫做幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括項(xiàng)前面的符號(hào)。多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。三、整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式。整式不一定是單項(xiàng)式。整式不一定是多項(xiàng)式。分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。四、整式的加減整式加減的理論根據(jù)是：去括號(hào)法則，合并同類項(xiàng)法則，以及乘法分配率。幾個(gè)整式相加減，關(guān)鍵是正確地運(yùn)用去括號(hào)法則，然后準(zhǔn)確合并同類項(xiàng)。幾個(gè)整式相加減的一般步驟： （1）列出代數(shù)式：用括號(hào)把每個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接。 （2）按去括號(hào)法則去括號(hào)。 （3）合并同類項(xiàng)。代數(shù)式求值的一般步驟： （1）代數(shù)式化簡(jiǎn)。 （2）代入計(jì)算 （3）對(duì)于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進(jìn)行計(jì)算。五、同底數(shù)冪的乘法n個(gè)相同因式（或因數(shù)）a相乘，記作an，讀作a的n次方（冪），其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，an的結(jié)果叫做冪。底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：am﹒an=am+n。此法則也可以逆用，即：am+n = am﹒an。開(kāi)始底數(shù)不相同的冪的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運(yùn)用法則。六、冪的乘方冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘。（am）n表示n個(gè)am相乘。冪的乘方運(yùn)算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n =amn。此法則也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。七、積的乘方積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。積的乘方運(yùn)算法則：積的乘方，等于把積中的每個(gè)因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn。此法則也可以逆用，即：anbn =（ab）n。八、三種“冪的運(yùn)算法則”異同點(diǎn)共同點(diǎn)：（1）法則中的底數(shù)不變，只對(duì)指數(shù)做運(yùn)算。（2）法則中的底數(shù)（不為零）和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）。（3）對(duì)于含有3個(gè)或3個(gè)以上的運(yùn)算，法則仍然成立。不同點(diǎn)：（1）同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加。（2）冪的乘方是指數(shù)相乘。（3）積的乘方是每個(gè)因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。九、同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：am247。an=amn（a≠0）。此法則也可以逆用，即：amn = am247。an（a≠0）。十、零指數(shù)冪零指數(shù)冪的意義：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即：a0=1（a≠0）。十一、負(fù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的―p次冪，等于這個(gè)數(shù)的p次冪的倒數(shù)，即：注：在同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪中底數(shù)不為0。十二、整式的乘法（一）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。系數(shù)相乘時(shí)，注意符號(hào)。相同字母的冪相乘時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相加。對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫(xiě)在積里，作為積的因式。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的乘法法則對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。（二）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。運(yùn)算時(shí)注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同?；旌线\(yùn)算中，注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)時(shí)要合并同類項(xiàng)，從而得到最簡(jiǎn)結(jié)果。（三）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，必須做到不重不漏。相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行，即一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。在未合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積。多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包含它前面的符號(hào)，確定積中每一項(xiàng)的符號(hào)時(shí)應(yīng)用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”。運(yùn)算結(jié)果中有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。對(duì)于含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘時(shí)，可以運(yùn)用下面的公式簡(jiǎn)化運(yùn)算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。十三、平方差公式（a+b）(ab)=a2b2，即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。平方差公式中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。平方差公式可以逆用，即：a2b2=（a+b）(ab)。平方差公式還能簡(jiǎn)化兩數(shù)之積的運(yùn)算，解這類題，首先看兩個(gè)數(shù)能否轉(zhuǎn)化成（a+b）?(ab)的形式，然后看a2與b2是否容易計(jì)算。十四、完全平方公式即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。公式中的a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。掌握理解完全平方公式的變形公式：（1）（2）（3）完全平方式：我們把形如:的二次三項(xiàng)式稱作完全平方式。當(dāng)計(jì)算較大數(shù)的平方時(shí)，利用完全平方公式可以簡(jiǎn)化數(shù)的運(yùn)算。完全平
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