【正文】 挑戰(zhàn)中考系列(數(shù)學(xué))第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題167。1．1　因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 167。1．2　因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題 167。1．3　因動點產(chǎn)生的直角三角形問題 167。1．4　因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題167。1．5　　因動點產(chǎn)生的面積問題167。1．6因動點產(chǎn)生的相切問題167。1．7因動點產(chǎn)生的線段和差問題第二部分 圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題167。2．1　　由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題第三部分 圖形運動中的計算說理問題167。3．1　　代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進(jìn)行說理問題167。3．2　　幾何證明及通過幾何計算進(jìn)行說理問題第四部分 圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)167。4．1　　圖形的平移167。4．2　　圖形的翻折167。4．3　　圖形的旋轉(zhuǎn)167。4．4三角形167。4．5　四邊形167。4．6　圓167。4．7函數(shù)的圖象及性質(zhì)167。1．1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題課前導(dǎo)學(xué)相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等．判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A和∠D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程．應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等．應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）．還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個三角形是直角三角形的問題．求線段的長，要用到兩點間的距離公式，而這個公式容易記錯．理解記憶比較好．如圖1，如果已知A、B兩點的坐標(biāo)，怎樣求A、B兩點間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了．水平距離BC的長就是A、B兩點間的水平距離，等于A、B兩點的橫坐標(biāo)相減；豎直距離AC就是A、B兩點間的豎直距離，等于A、B兩點的縱坐標(biāo)相減．圖1 圖1 圖2例 1 湖南省衡陽市中考第28題二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于A(－3, 0)、B(1, 0)兩點，與y軸交于點C(0,－3m)（m＞0），頂點為D．（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，當(dāng)m＝2時，點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；（3）如圖2，當(dāng)m取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似？動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14衡陽28”，拖動點P運動，可以體驗到，當(dāng)點P運動到AC的中點的正下方時，△APC的面積最大．拖動y軸上表示實數(shù)m的點運動，拋物線的形狀會改變，可以體驗到，∠ACD和∠ADC都可以成為直角．思路點撥1．用交點式求拋物線的解析式比較簡便．2．連結(jié)OP，△APC可以割補為：△AOP與△COP的和，再減去△AOC．3．討論△ACD與△OBC相似，先確定△ACD是直角三角形，再驗證兩個直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在兩種情況．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－3, 0)、B(1, 0)兩點，設(shè)y＝a(x＋3)(x－1)．代入點C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以該二次函數(shù)的解析式為y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如圖3，連結(jié)OP．當(dāng)m＝2時，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9， S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以當(dāng)時，S取得最大值，最大值為．圖3 圖4 圖5 圖6（3）如圖4，過點D作y軸的垂線，垂足為E．過點A作x軸的垂線交DE于F．由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．如果△ADC與△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為1∶3m．①如圖4，當(dāng)∠ACD＝90176。時，．所以．解得m＝1．此時，．所以．所以△CDA∽△OBC．②如圖5，當(dāng)∠ADC＝90176。時，．所以．解得．此時，而．因此△DCA與△OBC不相似．綜上所述，當(dāng)m＝1時，△CDA∽△OBC．考點伸展 第（2）題還可以這樣割補： 如圖6，過點P作x軸的垂線與AC交于點H．由直線AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因為P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因為△PAH與△PCH有公共底邊HP，高的和為A、C兩點間的水平距離3，所以S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝(－2x2－6x)＝． 例 2 2014年湖南省益陽市中考第21題如圖1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60176。，AB＝10，BC＝4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設(shè)AP＝x．21cnjy（1）求AD的長；（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；圖1（3）設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為SS2，若S＝S1＋S2，求S的最小值. 動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14益陽21”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，圓心O的運動軌跡是線段BC的垂直平分線上的一條線段．觀察S隨點P運動的圖象，可以看到，S有最小值，此時點P看上去象是AB的中點，其實離得很近而已．思路點撥1．第（2）題先確定△PCB是直角三角形，再驗證兩個三角形是否相似．2．第（3）題理解△PCB的外接圓的圓心O很關(guān)鍵，圓心O在確定的BC的垂直平分線上，同時又在不確定的BP的垂直平分線上．而BP與AP是相關(guān)的，這樣就可以以AP為自變量，求S的函數(shù)關(guān)系式．圖文解析（1）如圖2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60176。，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．（2）因為△APD是直角三角形，如果△APD與△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如圖3，當(dāng)∠CPB＝90176。時，AP＝10－2＝8．所以＝＝，而＝．此時△APD與△PCB不相似．圖2 圖3 圖4②如圖4，當(dāng)∠BCP＝90176。時，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以＝＝．所以∠APD＝60176。．此時△APD∽△CBP．綜上所述，當(dāng)x＝2時，△APD∽△CBP．（3）如圖5，設(shè)△ADP的外接圓的圓心為G，那么點G是斜邊DP的中點．設(shè)△PCB的外接圓的圓心為O，那么點O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點E，與AB交于點F．設(shè)AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60176。，所以BF＝4．在Rt△OFM中，F(xiàn)M＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30176。，所以O(shè)M＝．所以O(shè)B2＝BM2＋OM2＝．在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)＝＝．所以當(dāng)時，S取得最小值，最小值為．圖5 圖6考點伸展關(guān)于第（3）題，我們再討論個問題．問題1，為什么設(shè)AP＝2m呢？這是因為線段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10．這樣BM＝5－m，后續(xù)可以減少一些分?jǐn)?shù)運算．這不影響求S的最小值．問題2，如果圓心O在線段EF的延長線上，S關(guān)于m的解析式是什么？如圖6，圓心O在線段EF的延長線上時，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．此時OB2＝BM2＋OM2＝．這并不影響S關(guān)于m的解析式．例 3 2015年湖南省湘西市中考第26題如圖1，已知直線y＝－x＋3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A、B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以每秒個單位的速度勻速運動，連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當(dāng)t為何值時，△APQ為直角三角形；（3）過點P作PE//y軸，交AB于點E，過點Q作QF//y軸，交拋物線于點F，連結(jié)EF，當(dāng)EF//PQ時，求點F的坐標(biāo)；（4）設(shè)拋物線頂點為M，連結(jié)BP、BM、MQ，問：是否存在t的值，使以B、Q、M為頂點的三角形與以O(shè)、B、P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由． 圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘西26”，拖動點P在OA上運動，可以體驗到，△APQ有兩個時刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有一個時刻可以成為平行四邊形，△MBQ與△BOP有一次機(jī)會相似．思路點撥1．在△APQ中，∠A＝45176。，夾∠A的兩條邊AP、AQ都可以用t表示，分兩種情況討論直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示點P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示點E、F的坐標(biāo)，根據(jù)PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ與△BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論．圖文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．將A(3, 0)、B(0, 3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠PAQ＝45176。，AP＝3－t，AQ＝t．分兩種情況討論直角三角形APQ：①當(dāng)∠PQA＝90176。時，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如圖2）．②當(dāng)∠QPA＝90176。時，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝（如圖3）．圖2 圖3圖4 圖5（3）如圖4，因為PE//QF，當(dāng)EF//PQ時，四邊形EPQF是平行四邊形．所以EP＝FQ．所以yE－yP＝y(tǒng)F－yQ．因為xP＝t，xQ＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因為yE－yP＝y(tǒng)F－yQ，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以點F的坐標(biāo)為(2, 3)．（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B兩點間的水平距離、豎直距離相等，AB＝3．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M兩點間的水平距離、豎直距離相等，BM＝．所以∠MBQ＝∠BOP＝90176。．因此△MBQ與△BOP相似存在兩種可能：①當(dāng)時，．解得（如圖5）．②當(dāng)時，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程無實根．考點伸展第（3）題也可以用坐標(biāo)平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，將點Q向上平移，得F(3－t, 3)．再將F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．167。1．2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué) 我們先回顧兩個畫圖問題：1．已知線段AB＝5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2．已知線段AB＝6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點C．已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．圖1 圖2 圖3 圖1例 9 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)．動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況．思路點撥