【正文】 的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點(diǎn)P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比． 圖1 圖2圖3 圖4動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線E1上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P始終是線段OP′的中點(diǎn)．還可以體驗(yàn)到，直角三角形QBB′有兩個(gè)．思路點(diǎn)撥1．判斷點(diǎn)P是線段OP′的中點(diǎn)是解決問題的突破口，這樣就可以用一個(gè)字母表示點(diǎn)P、P′的坐標(biāo)．2．分別求線段AA′∶BB′，點(diǎn)P到AA′的距離∶點(diǎn)P′到BB′的距離，就可以比較△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖文解析（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1．設(shè)拋物線E2的表達(dá)式為y＝ax2，代入點(diǎn)B(2,2)，可得a＝．所以y＝x2．（2）點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB′存在兩種情況：①如圖3，過點(diǎn)B作BB′的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2, 4)．②如圖4，以BB′為直徑的圓D與拋物線E1交于點(diǎn)Q，那么QD＝＝2．設(shè)Q(x, x2)，因?yàn)镈(0, 2)，根據(jù)QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝．此時(shí)Q．（3）如圖5，因?yàn)辄c(diǎn)P、P′分別在拋物線EE2上，設(shè)P(b, b2)，P′(c, )．因?yàn)镺、P、P′三點(diǎn)在同一條直線上，所以，即．所以c＝2b．所以P′(2b, 2b2)．如圖6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4．由A(1, 1)、P(b, b2)，可得點(diǎn)P到直線AA′的距離PM ′＝b2－1．由B(2,2)、P′(2b, 2b2)，可得點(diǎn)P′到直線BB′的距離P′N′＝2b2－2．所以△PAA′與△P′BB′的面積比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4． 考點(diǎn)延伸第（2）中當(dāng)∠BQB′＝90176。(－yE)＝＝＝．所以當(dāng)x＝3時(shí)，S取得最大值，最大值為．此時(shí)點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)（如圖2）．（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點(diǎn)E在OB的垂直平分線上，且EO＝EB．當(dāng)x＝．此時(shí)E．如圖3，設(shè)EF與OB交于點(diǎn)D，恰好OB＝2DE．所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四邊形OEBF是正方形．所以當(dāng)平行四邊形OEBF是正方形時(shí)，E、F．圖1 圖2 圖3圖4 圖5考點(diǎn)伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個(gè)呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么∠OEB＝90176。1．5 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題課前導(dǎo)學(xué)面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根．第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確．如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計(jì)算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標(biāo)軸平行的，計(jì)算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補(bǔ)”的方法．圖1 圖2 圖3圖4 圖5 圖6計(jì)算面積長用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．例 32 湖南省常德市中考第25題如圖1，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn)，過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)Q，要使四邊形PQAM是菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)），在原拋物線x軸的上方部分取一點(diǎn)C，連結(jié)CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點(diǎn)D，若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點(diǎn)C是否存在？若存在求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O(0,0)、A(4，0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝ax(x－4)．代入點(diǎn)B()，得．解得．所以．（2）如圖2，由A(4，0)，M是OA的中點(diǎn)，可知OA＝4，MA＝2，M(2, 0)．如果四邊形PQAM是菱形，已知PQ//OA，首先要滿足PQ＝2，再必須MP＝2．因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線x＝2，P、Q關(guān)于x＝2對稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由M(2, 0)、P，可得MP＝2．所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形PQAM是菱形．（3）如圖3，作CE⊥x軸于E，作DF⊥x軸于F．我們把面積進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)換：如果△CDA的面積是△MDA面積的2倍，那么△MCA的面積是△MDA面積的3倍．而△MCA與△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．因此ME∶MF＝3∶1．設(shè)MF＝m，那么ME＝3m．原拋物線的解析式為，所以翻折后的拋物線的解析式為．所以D，C．根據(jù)yC∶yD＝3∶1，列方程．整理，得3m2＝4．解得．所以．所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（如圖3），或（如圖4）．圖1 圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（1）題可以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式：由點(diǎn)O(0,0), A(4，0)，B()的坐標(biāo)，可知點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)．可設(shè)，代入點(diǎn)O(0,0)，得．例 33 2014年湖南省永州市中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于A(－1, 0)，B(4, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0, 2)．點(diǎn)M(m, n)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，位于對稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上．過點(diǎn)M作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)Q，交拋物線于另一點(diǎn)E，直線BM交y軸于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1, 0)，B(4, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－4)．代入點(diǎn)C(0, 2)，得2＝－4a．解得．所以．頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）如圖2，已知M(m, n)，作MN⊥x軸于N．由，得．所以．因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線，所以ME＝．由于S△MFQ＝＝＝，S△MEB＝＝，所以當(dāng)S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時(shí)，∶＝1∶3．整理，得m2＋11m－12＝0．解得m＝1，或m＝－12．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 3)或(－12,－88)．圖1圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（2）題S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需點(diǎn)M一定要在拋物線上？從上面的解題過程可以看到，△MFQ與△MEB的高的比與n無關(guān)，兩條底邊的比也與n無關(guān)．如圖3，因此只要點(diǎn)E與點(diǎn)M關(guān)于直線x＝對稱，點(diǎn)M在直線的左側(cè)，且點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1（如圖3）或－12（如圖4）．167。1．7 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題課前導(dǎo)學(xué)線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．兩條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長線上，即P′．解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．第二類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分∠BAC交BC于E．點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)Q在AB上，那么△BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個(gè)問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定?。谝徊?，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于“河流AE”的對稱點(diǎn)為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH．這樣，因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的，所以點(diǎn)F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．圖4 圖5 圖6圖1 圖2例 50 湖南省郴州市中考第26題已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三點(diǎn)．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1, 0)、B(2, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－2)．代入點(diǎn)C(0, 2)，可得a＝－1．所以這條拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如圖3，連結(jié)OP．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四邊形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4．此時(shí)P(1, 2)．（3）第一步，幾何說理，確定點(diǎn)G的位置：如圖4，在△CMG中，CM為定值，因此當(dāng)GC＋GM最小時(shí)，△CMG的周長最?。捎贕A＝GC，因此當(dāng)GA＋GM最小時(shí)，GC＋GM最?。?dāng)點(diǎn)G落在AM上時(shí)，GA＋GM最?。ㄈ鐖D5）．圖3 圖4 圖5圖6 圖7 圖8第二步，代數(shù)計(jì)算，求解點(diǎn)G的坐標(biāo)：如圖6，cos∠CAO＝，所以，E．如圖7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．由A(－1, 0)、M，得直線AM的解析式為．作GH⊥x軸于H．設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．考點(diǎn)伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）．因?yàn)椤鰽BC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積也最大．過點(diǎn)P作x軸的垂線，交CB于F．因?yàn)椤鱌CF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點(diǎn)間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時(shí)，△PCB的面積最大．設(shè)點(diǎn)P(x,－x2＋x＋2)，F(xiàn)(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．當(dāng)x＝1時(shí)，PF最大．此時(shí)P(1, 2)．例 51 湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c關(guān)于y軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B和點(diǎn)C(－3,－3)均在拋物線上，點(diǎn)F在y軸上，過點(diǎn)作直線l與x軸平行．（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)D(x, y)是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），過點(diǎn)D作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)G，設(shè)線段GD的長為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？（3）若點(diǎn)P(m, n)是拋物線上位于第三象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PF并延長，交拋物線于另一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QS⊥l，垂足為S，過點(diǎn)P作PN⊥l，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；（4）若點(diǎn)A(－2, t)在線段BC上，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，MF＋MA的值最?。堉苯訉懗龃藭r(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與MF＋MA的最小值．圖1 圖2 圖3 圖4圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以y＝ax2．代入點(diǎn)C(－3,－3)，得．所以拋物線的解析式為．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得解得，b＝－2．所以直線BC的解析式為．（2）由于點(diǎn)D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此當(dāng)時(shí)，h取得最大值，最大值為．（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)為H．設(shè)直線PQ的解析式為．聯(lián)立直線PQ：與拋物線，消去y，得．所以x1所以B、C、G、F四點(diǎn)共圓．所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．又因?yàn)椤螩GF＝∠CGB＋90176。CF＝4－m，所以，．所以S△CEF＝＝．因此S＝S四邊形ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF＝＝＝．所以當(dāng)m＝2時(shí)，S取得最大值，最大值為．此時(shí)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)（如圖3）．（3）如圖4，由于A、D、F、E四點(diǎn)共圓，所以∠EAF＝∠EDF．因?yàn)椤螦EF＝90176。．因此．設(shè)M，那．整理，得x2－13x＋24＝0．解得．所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．（3）如圖2，如圖3，由于∠ADC＝30176。＝．由AD＝，得．解得．所以4≤t≤．（3）等腰三角形CPD存在兩種情況：①如圖6，當(dāng)PC＝PD時(shí)，點(diǎn)P在DC的垂直平分線上，N是DC的中點(diǎn)．此時(shí)t＝3＋6＝9．②如圖7，當(dāng)CP＝CD＝12時(shí)，在Rt△CPN中，由cos30176。所以△BDF∽△CEF．（2）如圖2，當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的邊長a＝4時(shí)，S△ABC＝．在Rt△BDF中，∠B＝60176。所以∠2＋∠EFP＝90176。．（3）如圖5，連結(jié)MQ，那么∠PMQ＝90176。的角．我們也可以根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分來解題：如圖6，如果四邊形BFDE是菱形，那么對角線EF⊥BD，此時(shí)垂足M、N重合．因此BD＝2DC．這樣