人教版九年級數(shù)學知識點歸納(已修改)
2025-04-16 03:12 本頁面
【正文】 新人教版九年級上冊數(shù)學知識點歸納第二十一章 一元二次方程 一元二次方程 在一個等式中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程． （4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應滿足（a≠0） 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：直接開平方法： 用直接開平方法解形如(xm)2=n (n≥0)的方程，其解為x=177。 m. .配方法通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。： 將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） ： 將二次項系數(shù)化為1 ： 將常數(shù)項移到等號右側(cè) ： 等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方 ： 將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式 ： 左右同時開平方 ： 整理即可得到原方程的根公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△=b24ac的值，當b24ac≥0時，把各項系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b24ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 實際問題與一元二次方程列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應用題的方法來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等．第二十二章 二次函數(shù) 二次函數(shù)（quadratic function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為y=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(b/2a，(b24ac)/4a) ； 頂點式y(tǒng)=a(xh)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))或y=a(xh)２+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（h，k）對稱軸為x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)ｙ＝ax２的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式； 交點式y(tǒng)=a(xx1)(xx2) [僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線] ； 重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。 y在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x2的平方的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 不同的二次函數(shù)圖像如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。 x軸對稱。對稱軸為直線x = b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 頂點，坐標為P ( b/2a ，4acb2)/4a ) 當b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b24ac=0時，P在x軸上。 開口。 當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 決定對稱軸位置的因素。 當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是 b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是 b/2a0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時 即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。 事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導得到。 決定拋物線與y軸交點的因素。 拋物線與y軸交于（0，c） 拋物線與x軸交點個數(shù) Δ= b24ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。 Δ= b24ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 Δ= b24ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。當a0時，函數(shù)在x= b/2a處取得最小值,當a0時，函數(shù)在x= b/2a處取得最大值當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸， ①當x=１時 y=a+b+c ?、诋攛=1時 y=ab+c ?、郛攛=2時 y=4a+2b+c ④當x=2時 y=4a2b+c 用函數(shù)觀點看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。 2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。實際問題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十三章 旋轉(zhuǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，風車的轉(zhuǎn)動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（
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