人教版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)(已修改)
2025-04-16 03:11 本頁面
【正文】 人教版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)第二十一章 二次根式 二次根式知識點一 二次根式的概念(1) 一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式的實質(zhì)是一個非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。其中“”叫做二次根號。(2) 正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點：① 二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號“”。如是二次根式，雖然=2，但2不是二次根式。② 被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)，即a≥，但式子2是二次根式。③ “”的根指數(shù)為2，即“”，一般省略根指數(shù)2，寫作“”，注意，不可誤認(rèn)為根指數(shù)是“1”或“0”。提示：判斷是不是二次根式，一看形式，二看數(shù)值，即形式上要有二次根號，被開方數(shù)要是非負(fù)數(shù)。知識點二 二次根式的性質(zhì)（1）（a≥0）既是二次根式，又是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，所以它一定是非負(fù)數(shù)，即≥（a≥0），我們把這個性質(zhì)叫做二次根式的非負(fù)性。（2）（）2 = a （a≥0），這個性質(zhì)可以正用，也可以逆用，正用時常用于二次根式的化簡和計算，可以去掉根號；逆用時可以把一個非負(fù)數(shù)寫成完整平方數(shù)的形式，常用于多項式的因式分解。（3）2 = a (a≥0)，這個性質(zhì)可以正用，也可以逆用，正用時用于二次根式的化簡，即當(dāng)被開方數(shù)能化為完全平方數(shù)（式）時，就可以利用該性質(zhì)去掉根號；逆用時可以把一個非負(fù)數(shù)化為一個二次根式。知識點三 代數(shù)式定義：用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，叫做代數(shù)式。 二次根式的乘除知識點一 二次根式的乘法法則一般地，對二次根式的乘法規(guī)定：=(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。知識點二 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)=（a≥0，b≥0），積的算術(shù)平方根等于積中各個因式的算術(shù)平方根的積。知識點三 二次根式的除法法則一般地，對二次根式的除法規(guī)定：=（a≥0，b＞0），即兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。知識點四 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)=（a≥0,b＞0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。知識點五 最簡二次根式必須滿足以下兩個條件：（1） 被開方數(shù)不含分母；（2） 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。 二次根式的加減知識點一 二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并，二次根式加減法的實質(zhì)是將被開方數(shù)相同的二次根式合并，合并時只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變。知識點二 二次根式的混合運算（1） 二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序相同：先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。（2） 在二次根式的運算中乘法法則和乘法公式仍然適用。 一元二次方程知識點一 一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點：① 只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。知識點二 一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。知識點三 一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。 降次——解一元二次方程 配方法知識點一 直接開平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=.（2） 直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。（3） 用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。（4） 直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二 配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。（1） 把常數(shù)項移到等號的右邊；（2） 方程兩邊都除以二次項系數(shù)；（3） 方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；（4） 若等號右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解
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