中考數(shù)學(xué)幾何旋轉(zhuǎn)經(jīng)典例題(同名21669)(已修改)
2025-04-16 03:01 本頁面
【正文】 中考數(shù)學(xué)幾何旋轉(zhuǎn)綜合題1.（2009年山東德州）23． (本題滿分10分) 已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45186。，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． FBADCEG第23題圖①（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） FBADCEG第23題圖②FBACE第23題圖③D 解：（1）證明：在Rt△FCD中， ∵G為DF的中點，∴ CG=FD．………… 1分同理，在Rt△DEF中， EG=FD． ………………2分∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．…………………………4分證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]FBADCEGMNN圖 ②（一）在△DAG與△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG與△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分在Rt△AMG 與Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．FBADCEGM圖 ②（二）∴ EG=CG． ……………………………8分證法二：延長CG至M,使MG=CG，連接MF，ME，EC， ……………………4分在△DCG 與△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE 與Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴．…………………………………………………6分FBADCE圖③G∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90176。． …………7分∴ △MEC為直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG=MC．∴ ．………………………………8分（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG．其他的結(jié)論還有:EG⊥CG．……10分2. (2009山西)在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120176。，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角a(0176。＜a＜90176。)得△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC，BC于D，F(xiàn)兩點．(1)如圖22－4(a)，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA1與FC是怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論；圖23－4(a)(2)如圖23－4(b)，當(dāng)a＝30176。時，試判斷四邊形BC1DA的形狀，并說明理由；圖23－4(b)(3)在(2)的情況下，求ED的長．解 (1)證明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF．∴△ABE≌△C1BF．∴BE＝BF．又∵BA1＝BC，∴BA1－BE＝BC－BF，即EA1＝FC．(2)四邊形BC1DA是菱形．證明：∵∠A1＝∠ABA1＝30176。，∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．
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