數(shù)學(xué)經(jīng)典例題集錦：數(shù)列含答案資料(已修改)
2025-07-06 05:51 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)列題目精選精編【典型例題】（一）研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)1. 研究通項(xiàng)的性質(zhì)例題1. 已知數(shù)列滿足. （1）求；（2）證明：.解：（1）. （2）證明：由已知，故， 所以證得. 例題2. 數(shù)列的前項(xiàng)和記為（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求. 解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得：，又∴ 故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列 ∴（Ⅱ）設(shè)的公比為，由得，可得，可得故可設(shè)，又，由題意可得，解得∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴ ∴ ∴例題3. 已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且對(duì)任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列. ⑴求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；⑵是否存在，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時(shí)，. （2）把看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來(lái)研究的取值情況. 解：（1）已知…）①時(shí)，…）②①－②得，求得，在①中令，可得得，所以N*）. 由題意，，所以，∴數(shù)列的公差為，∴，）. （2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以時(shí)， 又，所以，不存在，使得. 例題4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項(xiàng)an，bn 解： 依題意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ②∵ an、bn為正數(shù)， 由②得， 代入①并同除以得： ，∴ 為等差數(shù)列∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ，∴ ，∴當(dāng)n≥2時(shí)，又a1 = 1，當(dāng)n = 1時(shí)成立， ∴2. 研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）時(shí)，.而為等比數(shù)列，得，又，得，.（2）， ） ，得，.例題6. 數(shù)列是首項(xiàng)為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解：（1）由題意：，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列， ∴，∴ 由，得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為. （2）由（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列{
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