中考數(shù)學(xué)幾何旋轉(zhuǎn)經(jīng)典例題(同名21669)-文庫(kù)吧
2025-03-20 03:01 本頁(yè)面
【正文】 ∴四邊形BC1DA是平行四邊形．又∵AB＝BC1，∴四邊形BC1DA是菱形．(3)如圖23－4(c)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，則AG＝BG＝1．圖23－4(c)在Rt△AEG中，由(2)知四邊形BC1DA是菱形，∴AD＝AB＝2． 如圖23－5(a)，在Rt△ABC中，∠BAC＝90176。，D，E兩點(diǎn)分別在AC，BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△CD′E′(如圖23－5(b)，點(diǎn)D′，E′分別與點(diǎn)D，E對(duì)應(yīng))，點(diǎn)E′在AB上，D′E′與AC交于點(diǎn)M．圖23－5(1)求∠ACE′的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD′是梯形；(3)求△AD′M的面積．分析 注意旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)元素的關(guān)系，以及圖中隱含的45176。、30176。等特殊角，將△AD′M的面積轉(zhuǎn)化為S△AD′E′－S△AME′，利用方程的思想求解．解 (1)如圖23－5(a)，∵∠BAC＝90176。，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45176。．∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠DCE＝45176。，∠EDC＝90176。．∴CE＝CE′＝4．如圖23－5(b)，在Rt△ACE′中，∠E′AC＝90176。，CE′＝4，∴∠ACE′＝30176。．(2)如圖23－5(b)，∵∠D′CE′＝∠ACB＝45176。，∠ACE′＝30176。，∴∠D′CA＝∠E′CB＝15176。．又，∴△D′CA∽△E′CB．∴∠D′AC＝∠B＝45176。．∴∠ACB＝∠D′AC．∴AD′∥BC．∵∠B＝45176。，∠D′CB＝60176。，∴∠ABC與∠D′CB不互補(bǔ)，∴AB與D′C不平行．∴四邊形ABCD′是梯形．(3)在圖23－5(c)中，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD′，垂足為F，過(guò)D′作D′G⊥AB，垂足為G．作∠AMH＝60176。交AE′于H．可得∠FCD′＝∠ACF－∠ACD′＝30176。．在Rt△ACF中，在Rt△D′CF中，∴△AD′E中，AD′＝，AE′＝2，∠BAD′＝135176。．在Rt△AD′G中，設(shè)AM＝x，可得，MH＝HE′＝2－在Rt△AMH中，由AM2＋AH2＝MH2，可得化簡(jiǎn)，得解得由AM＜AC可得．3. (2009湖南常德)如圖23－8(a)，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD＝BE，△AMN是等邊三角形．圖23－8(1)當(dāng)把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖23－8(b)的位置時(shí)，D，E，B三點(diǎn)共線，CD＝BE是否仍然成立?若成立請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖23－8(c)的位置時(shí)，D，E，B三點(diǎn)不共線，△AMN是否還是等邊三角形?若是，請(qǐng)給出證明；并求出當(dāng)AB＝2AD時(shí)，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解 (1)如圖23－8(b)CD＝BE．理由如下：∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAC＝60176。．∵∠BAE＝∠BAC－∠EAC，∠DAC＝∠EAD－∠EAC，∴∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ACD．∴CD＝BF．(2)如圖23－8(c)，△AMN是等邊三角形，理由如下：同理可證△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD．∵M(jìn)，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∴△ABM≌△ACN．∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAC．∴∠NAM＝∠NAC＋∠CAM＝∠MAB＋∠CAM＝∠BAC＝60176。．∴△AMN是等邊三角形．設(shè)AD＝a，則AB＝2a．∵AD＝AE＝DE，AB＝AC，∴CE＝DE．∵△ADE為等邊三角形，∴∠DEC＝120176。，∠ADE＝60176。．∴∠EDC＝∠ECD＝30176。，∠ADC＝90176。．在Rt△ADC中，AD＝a，∠ACD＝
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