破解橢圓中最值問題的常見策略分析(已修改)
2025-04-06 06:36 本頁面
【正文】 . .. . ..破解橢圓中最值問題的常見策略浬浦中學(xué) 蔡明有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對橢圓中的常見最值問題進(jìn)行分類破解。第一類：求離心率的最值問題破解策略之一：建立的不等式或方程例1：若為橢圓的長軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。分析：建立之間的關(guān)系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中的取值進(jìn)行求解離心率的最值。解：不妨設(shè)，則，利用到角公式及得：（），又點(diǎn)在橢圓上，故，消去， 化簡得又即則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式 解得。故橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由，故）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立之間的關(guān)系。常用橢圓上的點(diǎn)表示成，并利用橢圓中的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍例2：已知橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)為，如果曲線C上存在一點(diǎn)Q，使，求橢圓離心率的最小值。分析：
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