最值問題解題思路奧數(shù)(已修改)
2025-04-06 03:44 本頁面
【正文】 .. . . ..馬到成功奧數(shù)專題:離散最值引言：在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中，常出現(xiàn)一些在自然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問題，我們稱之為離散最值問題。解決這類非常規(guī)問題，尚無統(tǒng)一的方法，對不同的題目要用不同的策略和方法，就具體的題目而言，大致可從以下幾個方面著手： ??； ——確定最值； ——確定最值；。離散最值問題滲透到小升初的各個奧數(shù)專題中，學(xué)好它可為解決數(shù)論，計數(shù)，應(yīng)用問題等打下扎實的基礎(chǔ)。一、 從極端情形入手從極端情形入手，著眼于極端情形，是求解最值問題的有效手段。題目1. 一個布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各10個，這些小球的大小均相同，紅色小球上標(biāo)有數(shù)字“4”，黃色小球上標(biāo)有數(shù)字“5”，綠色小球上標(biāo)有數(shù)字“6”。小明從袋中摸出8個球，它們的數(shù)字和是39，其中最多可能有多少個球是紅色的？解：假設(shè)摸出的8個球全是紅球，則數(shù)字之和為（48=）32，與實際的和39相差7，這是因為將摸出的黃球、綠球都當(dāng)成是紅球的緣故。用一個綠球換一個紅球，數(shù)字和可增加（6－4=）2，用一個黃球換一個紅球，數(shù)字和可增加（54=）1。為了使紅球盡可能地多，應(yīng)該多用綠球換紅球，現(xiàn)在7247。2=3……1，因此可用3個綠球換紅球，再用一個黃球換紅球，這樣8個球的數(shù)字之和正好等于39。所以要使8個球的數(shù)字之和為39，其中最多可能有（831=）4個是紅球。題目2. 有13個不同正整數(shù)，它們的和是100。問其中偶數(shù)最多有多少個？最少有多少個？解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72還要有5個奇數(shù)，但和是奇數(shù)，100是偶數(shù)，所以只能少一個偶數(shù)，2+4+6+8+10+12+14=5610056=4242=1+3+5+7+9+17，最多有7個偶數(shù)。②1+3+5+7+9+11+13+15=64還要5個偶數(shù)，10064=3636=2+4+6+8+16 最少有5個偶數(shù)。題目3. 一種小型天平稱備有1克、3克、5克、7克、9克5種砝碼。為了能稱出1克到91克的任意一種整數(shù)克重量，如果只允許在天平的一端放砝碼，那么最少需要準(zhǔn)備砝碼多少個。解：要能稱出1克到91克的任意一種整數(shù)克重量，要有9個9克、1個5克、1個3克、2個1克，它們的和是91，這樣即可。需要9+1+1+2=13個。題目4. 一臺計算器大部分按鍵失靈，只有數(shù)字“7”和“0”以及加法鍵尚能使用，因此可以輸入77，707這樣只含數(shù)字7和0的數(shù)，并且進(jìn)行加法運(yùn)算。為了顯示出222222，最少要按“7”鍵多少次？22222270000*3=12222按下了3個7 122227000*1=5222按下了1個75222700*7=322 按下了7個7 32270*4=42按下了4個7 427*6=0 按下了6個7。3+1+7+4+6=21次二、枚舉法與逐步調(diào)整當(dāng)我們在有限數(shù)中求最大（或最?。┲禃r，枚舉法是常用基本方法之一。這種方法的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關(guān)的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。題目5. 將6，7，8，9，10按任意次序?qū)懺谝粋€圓周上，每相鄰兩數(shù)相乘，并將所得得5個乘積相加，那么所得和數(shù)的最小值是多少？解：要使乘積最小，就要每個數(shù)盡可能小。對于10，旁邊添6和7，這樣積小一些。于是有兩種添法：題目6. 某公共汽車從起點(diǎn)開往終點(diǎn)站，中途共有13個停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，那么為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應(yīng)有多少個座位？解法1：只需求車上最多有多少人。依題意列表如下： 由上表可見，車上最多有56人，這就是說至少應(yīng)有56個座位?！ ≌f明：本題問句出現(xiàn)了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取決于什么時候車上人數(shù)最多，要保證乘客中每人都有座位，應(yīng)準(zhǔn)備的座位至少應(yīng)當(dāng)?shù)扔诔丝妥疃鄷r的人數(shù)。所以，我們不能只看表面現(xiàn)象，誤認(rèn)為有了“至少”就是求最小數(shù)，而應(yīng)該把題意分析清楚后再作判斷?！ 〗夥?：因為車從某一站開出時，以前各站都有同樣多的人數(shù)到以后各站（每站1人），這一人數(shù)也和本站上車的人數(shù)一樣多，因此
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