【正文】 與其用淚水悔恨今天，不如用汗水拼搏今天。 三人行教育祝你高考成功！ 23 第二部分 —— 函數(shù) 知識點總結(jié)精華 考試內(nèi)容： 映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性． 反函數(shù)．互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系． 指數(shù)概念的擴充．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)．指數(shù)函數(shù)． 對數(shù)．對數(shù)的運算性質(zhì)．對數(shù)函數(shù)． 函數(shù)的應(yīng)用． 考試要求： （ 1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念． （ 2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法． （ 3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)． （ 4）理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像 和性質(zhì)． （ 5）理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的 運算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)． （ 6）能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題． 知知 識識 要要 點點 一、本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)： 性質(zhì)圖像反函數(shù)F :A ? B對數(shù)指數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)二次函數(shù)具體函數(shù)一般研究函數(shù)定義映射 二、知識回顧： （一） 映射與函數(shù) 1. 映射與一一映射 與其用淚水悔恨今天，不如用汗水拼搏今天。 三人行教育祝你高考成功！ 24 函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一 函數(shù) . 反函數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) ))(( Axxfy ?? 的值域是 C，根據(jù)這個函數(shù)中 x,y 的關(guān)系，用 y把 x 表示出，得到 x=? (y). 若對于 y 在 C 中的任何一個值，通過 x=? (y)，x 在 A 中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么， x=? (y)就表示 y 是自變量， x 是自變量 y的函數(shù)，這樣的函數(shù) x=? (y) (y?C)叫做函數(shù) ))(( Axxfy ?? 的反函數(shù)，記作 )(1 yfx ?? ,習(xí)慣上改寫成 )(1 xfy ?? （二）函數(shù)的性質(zhì) ⒈函數(shù)的單調(diào)性 定義：對于函數(shù) f(x)的定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1,x2, ⑴若當(dāng) x1x2時，都有 f(x1)f(x2),則說 f(x)在這個區(qū)間 上是增函數(shù)； ⑵若當(dāng) x1x2時，都有 f(x1)f(x2),則說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù) . 若函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x)的單調(diào)區(qū)間 .此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù) . 與其用淚水悔恨今天，不如用汗水拼搏今天。 三人行教育祝你高考成功！ 25 正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個問題：（ 1 ）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù) )( xf 為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；（ 2 ） )()( xfxf ?? 或)()( xfxf ??? 是定義 域上的恒等式。 2 ．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。 3. 奇函數(shù)在對稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對稱區(qū)間增減性相反 . 4 ．如果 )( xf 是偶函數(shù)，則 |)(|)( xfxf ? ，反之亦成立。若奇函數(shù)在 0?x 時有意義，則 0)0( ?f 。 7. 奇函數(shù)，偶函數(shù)： ⑴ 偶函數(shù)： )()( xfxf ?? 設(shè)（ ba, ）為偶函數(shù)上一點，則（ ba,? ）也是圖象上一點 . 偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足 ① 定義域一定要關(guān)于 y 軸對稱，例如： 12??xy 在 )1,1[? 上不是偶函數(shù) . ② 滿足 )()( xfxf ?? ，或 0)()( ??? xfxf ，若 0)( ?xf 時， 1)( )( ??xf xf. ⑵ 奇 函數(shù)： )()( xfxf ??? 設(shè)（ ba, ）為奇函數(shù)上一點，則（ ba??, ）也是圖象上一點 . 奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足 ① 定義域一定要關(guān)于原點對稱，例如： 3xy? 在 )1,1[? 上不是奇函數(shù) . ② 滿足 )()( xfxf ??? ，或 0)()( ??? xfxf ，若 0)( ?xf 時， 1)( )( ???xf xf. 8. 對稱變換：① y = f（ x） ）（軸對稱 xfyy ????? ?? ② y =f（ x） ）（軸對稱 xfyx ????? ?? ③ y =f（ x） ）（原點對稱 xfy ?????? ?? 9. 判斷函數(shù)單調(diào)性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如： 在進行討論 . 10. 外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域 . 例如：已知函數(shù) f（ x） = 1+ xx?1 的定義域為 A，函數(shù) f[f（ x） ]的定義域是 B，則集合 A與集合 B 之間的關(guān)系是 . 22122 212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx ??????????? ）（AB? 與其用淚水悔恨今天，不如用汗水拼搏今天。 三人行教育祝你高考成功！ 26 ▲xy解： )(xf 的值域是 ))(( xff 的定義域 B ， )(xf 的值域 R? ，故 RB? ，而 A ? ?1| ?? xx ，故 AB? . 11. 常用變換： ①)( )()()()()( yf xfyxfyfxfyxf ?????. 證： )()(])[()()( )()( yfyxfyyxfxfxf yfyxf ???????? ② )()()()()()( yfxfyxfyfxfyxf ?????? 證： )()()()( yfyxfyyxfxf ???? 12. ⑴ 熟悉常用函數(shù)圖象： 例： ||2xy? → ||x 關(guān)于 y 軸對稱 . |2|21????????xy → ||21xy ???????→ |2|21????????xy ▲xy ▲xy(0,1) ▲xy(2,1) |122| 2 ??? xxy → ||y 關(guān)于 x 軸對稱 . ⑵ 熟悉分式圖象： },3|{ Rxxx ?? ， 例： 372312 ?????? xxxy ? 定義域值域 },2|{ Ryyy ?? →值域 ? x 前的系數(shù)之比 . （三）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù) )10( ??? aaay x 且 的圖象和性質(zhì) a1 0a1 圖 象 4 .543 .532 .521 .510 .5 1 4 3 2 1 1 2 3 4y = 1 4 .543 .532 .521 .510 .5 0 .5 1 4 3 2 1 1 2 3 4y = 1 性 質(zhì) (1)定義域： R （ 2）值域：（ 0， +∞） （ 3）過定點（ 0， 1），即 x=0 時， y=1 ▲xy23 與其用淚水悔恨今天，不如用汗水拼搏今天。 三人行教育祝你高考成功！ 27 (4)x0 時， y1。x0 時，0y1 (4)x0 時， 0y1。x0 時， y1. （ 5）在 R上是增函數(shù) （ 5）在 R上是減函數(shù) a1 0a1 對數(shù)函數(shù) y=logax的圖象和性質(zhì) : 對數(shù)運算：? ?nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121l o gl o g...l o gl o g1l o gl o gl o gl o gl o gl o gl o g1l o gl o gl o gl o gl o gl o gl o gl o g)(l o g32l o g)12)1(???????????????????推論：換底公式： （以上 10 且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ???? ?????? ） 注 ⑴ ：當(dāng) 0, ?ba 時， )log ()log ()log ( baba ????? . ⑵ ：當(dāng) 0?M 時，取“ +”，當(dāng) n 是偶數(shù)時且 0?M 時， 0?nM ，而 0?M ，故取“ — ” . 例如： xxx aaa lo g2(lo g2lo g 2 ?? 中 x＞ 0而 2logxa 中 x∈ R） . ⑵ xay? （ 1,0 ?aa? ）與 xy alog? 互為反函數(shù) . 當(dāng) 1?a 時， xy alog? 的 a 值越大，越靠近 x 軸；當(dāng) 10 ??a 時，則相反 . （四）方法總結(jié) ⑴ .相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同 . ⑴ 對數(shù)運算： 與其用淚水悔恨今天，不如用汗水拼搏今天。 三人行教育祝你高考成功！ 28 ? ?nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121l o gl o g...l o gl o g1l o gl o gl o gl o gl o gl o gl o g1l o gl o gl o gl o gl o gl o gl o gl o g)(l o g32l o g)12)1(???????????????????推論：換底公式： （以上 10 且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ???? ?????? ） 注 ⑴ ：當(dāng) 0, ?ba 時， )log ()log ()log ( baba ????? . ⑵ ：當(dāng) 0?M 時，取“ +”，當(dāng) n 是偶數(shù)時且 0?M 時， 0?nM ，而 0?M ，故取“ — ” . 例如： xxx aaa lo g2(lo g2lo g 2 ?? 中 x＞ 0而 2logxa 中 x∈ R） . ⑵ xay? （ 1,0 ?aa? ）與 xy alog? 互為反函數(shù) . 當(dāng) 1?a 時， xy alog? 的 a 值越大，越靠近 x 軸；當(dāng) 10 ??a 時，則相反 . ⑵ .函數(shù)表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法 . ⑶ .反函數(shù)的求法：先解 x,互換 x、 y，注明反函數(shù)的定義域 (即原函數(shù)的值域 ). ⑷ .函數(shù)的定義域的求法：布 列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域 .常涉及到的依據(jù)為①分母不為 0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于 0；③對數(shù)的真數(shù)大于 0，底數(shù)大于零且不等于 1；④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等 . ⑸ .函數(shù)值域的求法：①配方法 (二次或四次 )；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法 . ⑹ .單調(diào)性的判定法：①設(shè) x1 ,x2 是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且 x1 ＜ x2 ；②判定 f(x1 )與 f(x2 )的大?。虎圩鞑畋容^或作商比較 . ⑺ .奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于 原點對稱，再計算 f(x)與 f(x)之間的關(guān)系：① f(x)=f(x)為偶函數(shù)； f(x)=f(x)為奇函數(shù)；② f(x)f(x)=0為偶； f(x)+f(x)=0 為奇；③ f(x)/f(x)=1 是偶； f(x)247。 f(x)=1 為奇函數(shù) . ⑻ .圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象 . 與其用淚水悔恨今天，不如用汗水拼搏今天。 三人行教育祝你高考成功！ 29 補充： 函數(shù)圖象的幾種常見變換 ⑴平移變換：左右平移 “左加右減”（注意是針對 x 而言）；上下平移 “上加下減” (注意是針對 ()fx而言 ). ⑵翻折變換： ( ) | ( )|f x f x? ； ( ) (| |)f x f x? . ⑶對稱變換：①證明函數(shù)圖像的對稱性 ,即證圖像上任意點關(guān)于對稱中心(軸 )的對稱點仍在圖像上 . ②函數(shù) ()y f x? 與 ()y f x?? ? 的圖像關(guān)于原點成中心對稱 ③函數(shù) ()y f x? 與 ()y f x??的圖像關(guān)于直線 0x? (y 軸 )對稱；函數(shù) ()y f x? 與函數(shù) ()y f x??的圖像關(guān)于直線 0y? (x 軸 )對稱； ④函數(shù) ()y f x? 對 xR? 時， ( ) ( )f a x f a x? ? ?或 (