【正文】 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 1第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 2 本章內(nèi)容 靜電場(chǎng)分析 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 恒定磁場(chǎng)分析 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理 鏡像法 分離變量法? 靜態(tài)電磁場(chǎng)： 場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)? 時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)? 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 3 靜電場(chǎng)分析 學(xué)習(xí)內(nèi)容 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 電位函數(shù) 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 靜電場(chǎng)的能量 靜電力第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 42. 邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程積分形式：或若分界面上不存在面電荷，即 ρ S＝ 0，則或 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 5介質(zhì) 2介質(zhì) 1 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為 0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為 或 場(chǎng)矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件 介質(zhì) 1導(dǎo)體第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 6由即 靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示， 標(biāo)量函數(shù) 稱為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱電位。1. 電位函數(shù)的定義 電位函數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 72. 電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位： 故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 83. 電位差兩端點(diǎn)乘 ，則有將上式兩邊從點(diǎn) P到點(diǎn) Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說(shuō)明 P、 Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從 P點(diǎn)移至 Q 點(diǎn) 所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用 U 表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。P、 Q 兩點(diǎn)間的電位差電場(chǎng)力做的功第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 9 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn) 令參考點(diǎn)電位為零 電位確定值 (電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值 選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義； 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú) 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)； 同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4. 電位參考點(diǎn)　 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 10在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程在無(wú)源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 116. 靜電位的邊界條件 設(shè) P1和 P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為 ?1和 ?2。 當(dāng)兩點(diǎn)間距離 ⊿ l→0 時(shí)? 若介質(zhì)分界面上無(wú)自由電荷，即? 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由 和媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1常數(shù)，第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 12 例 求電偶極子的電位 . 解 在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開(kāi)，由于　　　，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－ q第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 13將　 和　 代入上式， 解得 E線方程為 由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度等位線電場(chǎng)線電偶極子的場(chǎng)圖　 電場(chǎng)線微分方程 ：　 等位線方程 ：第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 14 解 選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn) P 的位置矢量為 r，則若選擇點(diǎn) o為電位參考點(diǎn)，即 ，則 在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有 在圓柱面坐標(biāo)系中，取 與 x軸方向一致，即 ，而 ，故 例 求均勻電場(chǎng)的電位分布。第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 15xyzLL 解 采用圓柱面坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱性，電位與 ? 無(wú)關(guān)。在帶電線上位于 處的線元 ，它到點(diǎn) 的距離 ，則 例 求長(zhǎng)度為 2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 16 在上式中若令 ，則可得到無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的電位。當(dāng) 時(shí)，上式可寫(xiě)為 當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o(wú)窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇 ρ= a 的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 17 例 兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。 解 在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無(wú)電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為o b a xy兩塊無(wú)限大平行板第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 18利用邊界條件，有 處， 最后得 處， 處，所以由此解得第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 19電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：? 在電子電路中，利用電容器來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用；? 通過(guò)電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路；? 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來(lái)改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率； 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 20 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲(chǔ)存電荷能力的物理量。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量 q與其電位 ? 的比值，即1. 電容 孤立導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（ ?q） 的導(dǎo) 體組成的電容器，其電容為 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無(wú)關(guān)。第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 21 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷 +q 和 q ； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度 E； 計(jì)算電容的步驟： (4) 求比值 ，即得出所求電容。 (3) 由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 22 解 ： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng) 時(shí)， 例 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a、外導(dǎo)體半徑為 b，其間填充介電常數(shù)為 ε的均勻介質(zhì)。 求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 23 例 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為 a，兩導(dǎo)線的軸線距離為 D，且 D a，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。 解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和 。由于 ，故 可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長(zhǎng)度的電容為第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 24 例 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體半徑為為 b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為 ? 的均勻介質(zhì)， 求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差 解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為 和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為同軸線第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 252＊ 部份電容　 在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體 上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。 在由 N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為式中： —— 自電位系數(shù)—— 互電位系數(shù)（ 1） 電位系數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 26 αi j 在數(shù)值上等于第 i 個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第 j 個(gè)導(dǎo)體上的電位，即　 αi j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；　 具有對(duì)稱性，即 αi j = αj i 。　 αi j 0 ； 電位系數(shù)的特點(diǎn)：第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 27若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為 式中： —— 自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù) —— 互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù) （ 2） 電容系數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 28 β i j 在數(shù)值上等于第 j個(gè)導(dǎo)體上的 電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo) 體接地時(shí)， 第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量，即 β i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；　 具有對(duì)稱性，即 β i j = β j i ?！?β i i 0 、 ； 電容系數(shù)的特點(diǎn)：第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 29將各導(dǎo)體的電量表示為 式中：（ 3） 部分電容—— 導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體 j 之間的部分電容—— 導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解電磁場(chǎng)與電磁波 30 Ci i 在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)， 第 i 個(gè)導(dǎo) 體上的電量； Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)；　 具有對(duì)稱性，即 Ci j = Cj i 。　 Ci j 0 ； Ci j 在數(shù)值上等于第 j 個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余 導(dǎo)體都接地時(shí)， 第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量； 部分