【正文】 同性的均勻媒質(zhì)中和第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 71靜電位 　　　　　 磁標(biāo)位　 磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位　 ? 　 ?　　磁標(biāo)位　 　 ?m 　 ?　第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 72當(dāng) r l 時(shí)，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有 解 ： M為常數(shù)， ?m= 0，柱內(nèi)沒有磁荷。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為 b，空氣填充。 3. 互感同理，回路 C2 對(duì)回路 C1 的互感為C1 C2I1I2Ro第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 80 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲(chǔ)存的磁場能量與自感。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。 惟一性定理　 惟一性定理的重要意義　給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件　為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)　為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)　 惟一性定理的表述第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 103　 惟一性定理的證明反證法 ：假設(shè)解不惟一，則有兩個(gè)位函數(shù)和 在場域 V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面 S 上有令 ， 則 在場域 V內(nèi)且在邊界面 S 上滿足同樣的邊界條件。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。電位函數(shù)q? d1d212RR1R2R3q1 d1d2d2q2d1q3d2d1第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 113 例 一個(gè)點(diǎn)電荷 q與無限大導(dǎo)體平面距離為 d，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。來等效。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 115 令 r＝ a，由球面上電位為零，即 ? ＝ 0，得此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到　 | q39。加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。1. 線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 122由于上式對(duì)任意的 都成立，因此，將上式對(duì)求導(dǎo)，可以得到由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即 所以有 設(shè)鏡像電荷的線密度為 ， 且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 123導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由 時(shí)，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。圖 2 介質(zhì) 1的鏡像電荷問題： 如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷 q，距分界平面為 h 。可得到故利用矢量磁位滿足的邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 132 分離變量法 將偏微分方程中含有 n個(gè)自變量的待求函數(shù)表示成 n個(gè)各自只含一個(gè)變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成 n個(gè)常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級(jí)數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。 xyaE0 o εP(ρ,? )第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 143① 由于圓柱表面電場強(qiáng)度的切向分量為零，即 ② 無限遠(yuǎn)處的電場未受到擾動(dòng)，因此電位應(yīng)為 此式表明，無限遠(yuǎn)處電位函數(shù)僅為 cos? 的函數(shù)，可見系數(shù) ，且 m = 0。那么 稱為勒讓德多項(xiàng)式。球內(nèi)外的電場線如圖示。由此獲知各系數(shù)分別為 代入前式，求得球內(nèi)外電位分別為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 152值得注意的是球內(nèi)的電場分布。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 147 根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng) 時(shí)， 因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括 或 ? 時(shí)， ，此時(shí)只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個(gè)邊界條件： 例 均勻外電場 中，有一半徑為 a、介電常數(shù)為 ε的無限長均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。 線電流 與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 130 因?yàn)殡娏餮剌S方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有分量，則磁介質(zhì) 1和磁介質(zhì) 2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為圖 3 磁介質(zhì) 2的鏡像線電流 在計(jì)算磁介質(zhì) 2中的磁場時(shí)，用置于介質(zhì) 1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖 3所示。思考 ：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 126 點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖 1 點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面特點(diǎn)： 在點(diǎn)電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。圖 1 線電荷與導(dǎo)體圓柱圖 2 線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點(diǎn) ：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。的感應(yīng)電荷分布，則 　 導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零　 采用疊加原理來確定鏡像電荷 點(diǎn)電荷 q 位于一個(gè)半徑為 a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為 d 。 由于球殼接地，感應(yīng)電荷分布在球殼的內(nèi)表面上。rR39。當(dāng)電荷 q 移至 x時(shí)，像電荷 q39。　 顯然， q1 對(duì)平面 2 以及 q2 對(duì)平面 1 均不能滿足邊界條件。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷　 結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。 解 在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通 Ψ不變，則 B和 H不變，儲(chǔ)存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。此時(shí)，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動(dòng)勢以保持各回路中電流不變。 (0≤α≤1) 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流 為 I 的載流回路具有的磁場能量 Wm，即對(duì) α從 0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當(dāng) α增加為 (α+ dα)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢 :第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 88 對(duì)于多個(gè)載流回路，則有對(duì)于體分布電流，則有例如，兩個(gè)電流回路 C1和回路 C2回路 C2的自有能回路 C1的自有能C1和 C2的互能第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 892. 磁場能量密度 從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個(gè)空間。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 86 恒定磁場的能量1. 磁場能量 在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。由于 D a ，故 可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。 自感的特點(diǎn)：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 75 解 ：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。則 例 求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿 +z方向流動(dòng)。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。? 計(jì)算電導(dǎo)的方法三 ：靜電比擬法：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 57 例 求同軸電纜的絕緣電阻?？上燃僭O(shè)電流為 I， 由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 49恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（ 區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對(duì)應(yīng)物理量靜電場恒定電場第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 50 例 　 一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 ??1和 ? ?2，外加電壓 U。 （ 2）恒定電場中有電場能量的損耗 ,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。 虛位移法 ： 假設(shè)第 i個(gè)帶電 導(dǎo)體在電場力 Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?dWe。 靜電場的能量 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 331. 靜電場的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 ? 。 在由 N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為式中： —— 自電位系數(shù)—— 互電位系數(shù)（ 1） 電位系數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 26 αi j 在數(shù)值上等于第 i 個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第 j 個(gè)導(dǎo)體上的電位，即　 αi j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；　 具有對(duì)稱性，即 αi j = αj i 。 (3) 由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 22 解 ： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng) 時(shí)， 例 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a、外導(dǎo)體半徑為 b，其間填充介電常數(shù)為 ε的均勻介質(zhì)。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 16 在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。P、 Q 兩點(diǎn)間的電位差電場力做的功第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 9 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn) 令參考點(diǎn)電位為零 電位確定值 (電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值 選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義； 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。 當(dāng)兩點(diǎn)間距離 ⊿ l→0 時(shí)? 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即? 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由 和媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1常數(shù)，第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 12 例 求電偶極子的電位 . 解 在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開，由于　　　，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。例如，選擇 ρ= a 的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問