【正文】 ③ 球內(nèi)電位與球外電位在球面上應(yīng)該連續(xù)，即 ④ 根據(jù)邊界上電位移法向分量的連續(xù)性，獲知球面上內(nèi)外電位的法向?qū)?shù)應(yīng)滿足 ① 球心電位 應(yīng)為有限值；第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 150考慮到邊界條件 ① ，系數(shù) Dn 應(yīng)為零，即為了滿足邊界條件 ② ，除了 A1 以外的系數(shù) An ＝ 0，且 ，即 再考慮到邊界條件 ③ ，得 為了進一步滿足邊界條件 ④ ，得式中第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 151 由于上兩式對于所有的 ? 值均應(yīng)滿足，因此等式兩邊對應(yīng)的各項系數(shù)應(yīng)該相等。此時， 電位微分方程 的通解為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 148 例 設(shè)半徑為 a，介電常數(shù)為 ? 的介質(zhì)球放在無限大的真空中，受到其內(nèi)均勻電場 E0 的作用，如圖所示?！?分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法 　　 分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理　 分離變量法解題的基本思路：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 133在直角坐標系中，若位函數(shù)與 z無關(guān)，則拉普拉斯方程為 直角坐標系中的分離變量法將 ? (x,y)表示為兩個一維函數(shù) X(x)和 Y(y)的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以 X(x) Y(y) ，有分離常數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 134 若取 λ＝－ k2 ，則有當當?shù)?3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 135將所有可能的 ? (x,y)線性 疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即 若取 λ＝ k2 ，同理可得到通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 1242. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖 1 兩平行圓柱導(dǎo)體圖 2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸特點： 由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。||q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點電荷的電荷量　像電荷的位置和電量與外半徑 b 無關(guān)（為什么？）aqdob q39。 q39。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法3. 鏡像法的理論基礎(chǔ) —— 解的惟一性定理第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 108 像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小 ——“ 三要素 ” ；4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點5. 確定鏡像電荷的兩條原則　 等效求解的 “有效場域 ”。由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應(yīng)電動勢，故與回路相連接的電源不對回路輸入能量，即 dWS＝ 0，因此不變對兩個電流回路 ,第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 97 例 如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有 N 匝線圈的鐵芯）和銜鐵構(gòu)成。當電流從 零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。得與 dΦi交鏈的電流為則與 dΦi相應(yīng)的磁鏈為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 76因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。小圓形回路的半徑為 a，回路中的電流為 I 。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即 漏電導(dǎo)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 56(1) 假定兩電極間的電流為 I；(2) 計算兩電極間的電流密度 矢量 J；(3) 由 J = ? E 得到 E 。 則 ?1＝ 0， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 對 α從 0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量 We ，即 對于電荷體密度 ρ為的體分布電荷，體積元 dV中的電荷 ρdV具有的電場能量為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 34故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷， 電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有—— 第 i個導(dǎo)體所帶的電荷—— 第 i個導(dǎo)體的電位式中：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 352. 電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。 解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和 。 當兩點間距離 ⊿ l→0 時? 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即? 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由 和媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1常數(shù)，第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 12 例 求電偶極子的電位 . 解 在球坐標系中用二項式展開，由于　　　，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 16 在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。 在由 N個導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為式中： —— 自電位系數(shù)—— 互電位系數(shù)（ 1） 電位系數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 26 αi j 在數(shù)值上等于第 i 個導(dǎo)體上的總電量為一個單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時，第 j 個導(dǎo)體上的電位，即　 αi j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；　 具有對稱性，即 αi j = αj i 。 虛位移法 ： 假設(shè)第 i個帶電 導(dǎo)體在電場力 Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?dWe。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 49恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（ 區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 50 例 　 一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 ??1和 ? ?2，外加電壓 U。? 計算電導(dǎo)的方法三 ：靜電比擬法：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 57 例 求同軸電纜的絕緣電阻。則 例 求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿 +z方向流動。由于 D a ，故 可近似地認為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。 (0≤α≤1) 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流 為 I 的載流回路具有的磁場能量 Wm，即對 α從 0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當 α增加為 (α+ dα)時，回路中的感應(yīng)電動勢 :第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 88 對于多個載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，兩個電流回路 C1和回路 C2回路 C2的自有能回路 C1的自有能C1和 C2的互能第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 892. 磁場能量密度 從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。 解 在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通 Ψ不變，則 B和 H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化?！? 顯然， q1 對平面 2 以及 q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。rR39。的感應(yīng)電荷分布，則 　 導(dǎo)體球不接地時的特點： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面 球面上既有感應(yīng)負電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零　 采用疊加原理來確定鏡像電荷 點電荷 q 位于一個半徑為 a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為 d 。思考 ：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 126 點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖 1 點電荷與電介質(zhì)分界平面特點： 在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個邊界條件： 例 均勻外電場 中，有一半徑為 a、介電常數(shù)為 ε的無限長均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。由此獲知各系數(shù)分別為 代入前式，求得球內(nèi)外電位分別為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 152值得注意的是球內(nèi)的電場分布。那么 稱為勒讓德多項式?？傻玫焦世檬噶看盼粷M足的邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 132 分離變量法 將偏微分方程中含有 n個自變量的待求函數(shù)表示成 n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成 n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。1. 線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 122由于上式對任意的 都成立，因此，將上式對求導(dǎo)，可以得到由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當 時，電位應(yīng)為零，即 所以有 設(shè)鏡像電荷的線密度為 ， 且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 123導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由 時，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。與點荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到　 | q39。來等效。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計，其半徑為 b，空氣填充。1. 恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位 恒定磁 場 的矢量磁位和 標 量磁位第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 63 磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表達式第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 64 磁矢位的邊界條件由此可得出 （可以證明滿足 ） 對于面電流和細導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為面電流 ： 細線電流 ： 利用磁矢位計算磁通量：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 65 例 求 小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠遠小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓 U 時，必定會有微小的漏電流 J 存在。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 44 恒定電場的基本方程和邊界條件1. 基本方程? 恒定電場的基本方程為微分形式： 積分形式：? 恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度? 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系? 恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷