【正文】 導體圓柱圖 2 線電荷與導體圓柱的鏡像特點 ：在導體圓柱面上有感應電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應電荷共同產(chǎn)生。分析方法 ：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖 2所示。1. 線電荷對接地導體圓柱面的鏡像第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 122由于上式對任意的 都成立，因此，將上式對求導，可以得到由于導體圓柱接地，所以當 時，電位應為零，即 所以有 設鏡像電荷的線密度為 ， 且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 123導體圓柱面外的電位函數(shù)：由 時，故導體圓柱面上的感應電荷面密度為導體圓柱面上單位長度的感應電荷為導體圓柱面上單位長度的感應電荷與所設置的鏡像電荷相等。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 1242. 兩平行圓柱導體的電軸圖 1 兩平行圓柱導體圖 2 兩平行圓柱導體的電軸特點： 由于兩圓柱帶電導體的電場互相影響，使導體表面的電荷分布不均勻，相對的一側電荷密度大，而相背的一側電荷密度較小。分析方法： 將導體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為 2b 的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖 2所示。問題： 如圖 1所示，兩平行導體圓柱的半徑均為 a，兩導體軸線間距為 2h，單位長度分別帶電荷 和 。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 125圖 2 兩平行圓柱導體的電軸 通常將帶電細線的所在的位置稱為圓柱導體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由 利用線電荷與接地導體圓柱面的鏡像確定 b 。思考 ：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導體問題？第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 126 點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖 1 點電荷與電介質(zhì)分界平面特點： 在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點的電場由點電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖 2 介質(zhì) 1的鏡像電荷問題： 如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個點電荷 q，距分界平面為 h 。分析方法： 計算電介質(zhì) 1 中的電位時，用位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 2所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 127介質(zhì) 1中的電位為 計算電介質(zhì) 2 中的電位時，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì) 2中的電位為圖 3 介質(zhì) 2的鏡像電荷第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 128可得到說明： 對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶 ），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 129圖 1 線電流與磁介質(zhì)分界平面圖 2 磁介質(zhì) 1的鏡像線電流特點： 在直線電流 I 產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問題： 如圖 1所示，磁導率分別為 和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì) 1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為 h。分析方法： 在計算磁介質(zhì) 1中的磁場時，用置于介質(zhì) 2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為 的均勻介質(zhì)，如圖 2所示。 線電流 與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 130 因為電流沿軸方向流動，所以矢量磁位只有分量，則磁介質(zhì) 1和磁介質(zhì) 2中任一點的矢量磁位分別為圖 3 磁介質(zhì) 2的鏡像線電流 在計算磁介質(zhì) 2中的磁場時，用置于介質(zhì) 1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為 的均勻介質(zhì)，如圖 3所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 131相應的磁場可由 求得?？傻玫焦世檬噶看盼粷M足的邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 132 分離變量法 將偏微分方程中含有 n個自變量的待求函數(shù)表示成 n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成 n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)?！?分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法 　　 分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理　 分離變量法解題的基本思路：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 133在直角坐標系中，若位函數(shù)與 z無關，則拉普拉斯方程為 直角坐標系中的分離變量法將 ? (x,y)表示為兩個一維函數(shù) X(x)和 Y(y)的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以 X(x) Y(y) ，有分離常數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 134 若取 λ＝－ k2 ，則有當當?shù)?3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 135將所有可能的 ? (x,y)線性 疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即 若取 λ＝ k2 ，同理可得到通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 136 例 無限長的矩形金屬導體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為 U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導體槽內(nèi)的電位分布。 解： 位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為因 ? (0,y)＝ 0、 ? (a,y)＝ 0，故 位函數(shù)的通解應取為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 137確定待定系數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 138將 U0 在（ 0， a）上按 展開為傅立葉級數(shù)，即其中第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 139由故得到第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 140 圓柱坐標系中的分離變量法 令其解為 代入方程，可得到由此可將拉普拉斯方程分離為兩個常微分方程 在圓柱坐標系中，若位函數(shù)與 z無關，則拉普拉斯方程為 通常 ? (ρ, ? )隨變量 ? 的變化是以 2? 為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù) k 應為整數(shù)，即 k ＝ n ( n＝ 0,1,2,…) 。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 141當 n = 0時 考慮到以上各種情況， 電位微分方程 的解可取下列一般形式 當 n ≠ 0時 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 142 解 選取圓柱坐標系，令 z 軸為圓柱軸線，電場強度的方向與 x 軸一致，即 當導體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內(nèi)的電場強度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應與z 無關。解的形式可取前述一般形式，但應滿足下列兩個邊界條件： 例 均勻外電場 中，有一半徑為 a、介電常數(shù)為 ε的無限長均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。試求介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)和電場強度。 xyaE0 o εP(ρ,? )第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 143① 由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即 ② 無限遠處的電場未受到擾動，因此電位應為 此式表明，無限遠處電位函數(shù)僅為 cos? 的函數(shù)，可見系數(shù) ，且 m = 0。因此電位函數(shù)為那么，根據(jù)應滿足的邊界條件即可求得系數(shù) B1， D1 應為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 144代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為 則柱外電場強度為 xyaE0電場線 等位面?? ??????圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如圖所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 145 球坐標系中的分離變量法 電位微分方程在球坐標系中的展開式為令代入上式，得與前同理， ? 的解應為且第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 146上式中第一項僅為 r 的函數(shù)，第二項與 r 無關。因此，與前同理第一項應為常數(shù)。為了便于進一步求解，令 式中 n 為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為 且令 ，則上式變?yōu)樯鲜綖?連帶勒讓德方程 ，其通解為 第一類連帶勒讓德函數(shù) 與第二類連帶勒讓德函數(shù) 之和，這里 m n 。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 147 根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當 時， 因此，當場存在的區(qū)域包括 或 ? 時， ，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。 所以，通常令那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合 若靜電場與變量 ? 無關，則 m = 0 。那么 稱為勒讓德多項式。此時， 電位微分方程 的通解為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 148 例 設半徑為 a，介電常數(shù)為 ? 的介質(zhì)球放在無限大的真空中，受到其內(nèi)均勻電場 E0 的作用，如圖所示。試求介質(zhì)球內(nèi)的電場強度。 解 取球坐標系，令 E0 的方向與 z 軸一致，即 。顯然，此時場分布以 z 軸為旋轉對稱，因此與 ? 無關。這樣，球內(nèi)外的電位分布函數(shù)可取為則球內(nèi)外電位分別為E0zx?a?0第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 149球內(nèi)外電位函數(shù)應該滿足下列邊界條件： ② 無限遠處電場未受干擾，因此電位應為 ③ 球內(nèi)電位與球外電位在球面上應該連續(xù)，即 ④ 根據(jù)邊界上電位移法向分量的連續(xù)性，獲知球面上內(nèi)外電位的法向導數(shù)應滿足 ① 球心電位 應為有限值；第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 150考慮到邊界條件 ① ，系數(shù) Dn 應為零，即為了滿足邊界條件 ② ，除了 A1 以外的系數(shù) An ＝ 0，且 ，即 再考慮到邊界條件 ③ ，得 為了進一步滿足邊界條件 ④ ，得式中第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 151 由于上兩式對于所有的 ? 值均應滿足，因此等式兩邊對應的各項系數(shù)應該相等。由此獲知各系數(shù)分別為 代入前式，求得球內(nèi)外電位分別為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 152值得注意的是球內(nèi)的電場分布。已知 ，求得球內(nèi)的電場為可見，球內(nèi)電場仍然為均勻電場，而且球內(nèi)場強低于球外場強。球內(nèi)外的電場線如圖示。 如果在無限大的介電常數(shù)為 ? 的均勻介質(zhì)中存在球形氣泡，那么當外加均勻電場時，氣泡內(nèi)的電場強度應為那么，泡內(nèi)的場強高于泡外的場強。 電場線 等位面xz??0aE