【正文】 0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應為所做的功當 α增加為 (α+ dα)時，回路中的感應電動勢 :第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 88 對于多個載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，兩個電流回路 C1和回路 C2回路 C2的自有能回路 C1的自有能C1和 C2的互能第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 892. 磁場能量密度 從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。此時，磁場力做功 dA＝ Fidgi，系統的能量增加 dWm。此時，外接電源必然要做功來克服感應電動勢以保持各回路中電流不變。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為 S ，平均長度分別為 l1 和 l2 。 解 在忽略漏磁和邊緣效應的情況下，若保持磁通 Ψ不變，則 B和 H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。　非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1. 問題的提出　幾個實例　 接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。q非均勻感應電荷q′等效電荷　 結論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷 或線電荷的作用?！?鏡像電荷的確定　 像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；　 像電荷的個數、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定。　 顯然， q1 對平面 2 以及 q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。qx? =∞?0 dd 解 ：移動電荷 q時，外力需要克服電場力做功，而電荷 q受的電場力來源于導體板上的感應電荷。當電荷 q 移至 x時，像電荷 q39。應位于導體球內（顯然不影響原方程），且在點電荷 q與球心的連線上，距球心為 d39。rR39。aR39。 由于球殼接地，感應電荷分布在球殼的內表面上。r R39。的感應電荷分布，則 　 導體球不接地時的特點： 導體球面是電位不為零的等位面 球面上既有感應負電荷分布也有感應正電荷分布，但總的感應 電荷為零　 采用疊加原理來確定鏡像電荷 點電荷 q 位于一個半徑為 a 的不接地導體球外，距球心為 d 。 可用一個位于球心的鏡像電荷 q來替代，即球外任意點的電位為 qPa q39。圖 1 線電荷與導體圓柱圖 2 線電荷與導體圓柱的鏡像特點 ：在導體圓柱面上有感應電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應電荷共同產生。分析方法： 將導體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為 2b 的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖 2所示。思考 ：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導體問題？第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 126 點電荷與無限大電介質平面的鏡像 圖 1 點電荷與電介質分界平面特點： 在點電荷的電場作用下，電介質產生極化，在介質分界面上形成極化電荷分布。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 127介質 1中的電位為 計算電介質 2 中的電位時，用位于介質 1 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數為 的均勻介質，如圖 3 所示。 線電流 與無限大磁介質平面的鏡像 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 130 因為電流沿軸方向流動，所以矢量磁位只有分量，則磁介質 1和磁介質 2中任一點的矢量磁位分別為圖 3 磁介質 2的鏡像線電流 在計算磁介質 2中的磁場時，用置于介質 1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為 的均勻介質，如圖 3所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 136 例 無限長的矩形金屬導體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為 U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導體槽內的電位分布。解的形式可取前述一般形式，但應滿足下列兩個邊界條件： 例 均勻外電場 中，有一半徑為 a、介電常數為 ε的無限長均勻介質圓柱，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 145 球坐標系中的分離變量法 電位微分方程在球坐標系中的展開式為令代入上式，得與前同理， ? 的解應為且第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 146上式中第一項僅為 r 的函數，第二項與 r 無關。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 147 根據第二類連帶勒讓德函數的特性知，當 時， 因此，當場存在的區(qū)域包括 或 ? 時， ，此時只能取第一類連帶勒讓德函數作為方程的解。試求介質球內的電場強度。由此獲知各系數分別為 代入前式，求得球內外電位分別為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 152值得注意的是球內的電場分布。 電場線 等位面xz??0aE0。球內外的電場線如圖示。顯然，此時場分布以 z 軸為旋轉對稱，因此與 ? 無關。那么 稱為勒讓德多項式。為了便于進一步求解，令 式中 n 為整數。 xyaE0 o εP(ρ,? )第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 143① 由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即 ② 無限遠處的電場未受到擾動，因此電位應為 此式表明，無限遠處電位函數僅為 cos? 的函數，可見系數 ，且 m = 0。因此，分離常數 k 應為整數，即 k ＝ n ( n＝ 0,1,2,…) ?？傻玫焦世檬噶看盼粷M足的邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 132 分離變量法 將偏微分方程中含有 n個自變量的待求函數表示成 n個各自只含一個變量的函數的乘積，把偏微分方程分解成 n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數。問題： 如圖 1所示，磁導率分別為 和 的兩種均勻磁介質的分界面是無限大平面，在磁介質 1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為 h。圖 2 介質 1的鏡像電荷問題： 如圖 1 所示，介電常數分別為 和 的兩種不同電介質的分界面是無限大平面，在電介質 1 中有一個點電荷 q，距分界平面為 h 。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 125圖 2 兩平行圓柱導體的電軸 通常將帶電細線的所在的位置稱為圓柱導體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。1. 線電荷對接地導體圓柱面的鏡像第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 122由于上式對任意的 都成立，因此，將上式對求導，可以得到由于導體圓柱接地，所以當 時，電位應為零，即 所以有 設鏡像電荷的線密度為 ， 且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產生的電位函數第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 123導體圓柱面外的電位函數：由 時，故導體圓柱面上的感應電荷面密度為導體圓柱面上單位長度的感應電荷為導體圓柱面上單位長度的感應電荷與所設置的鏡像電荷相等。 Rdd39。加于導體球上，從而使總電荷為零。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 118球殼內的電位感應電荷分布在導體球面的內表面上，電荷面密度為導體球面的內表面上上的總感應電荷為可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應電荷的電荷量不相等。與點荷位于接地導體球外同樣的分析，可得到　 | q39。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 116可見，導體球面上的總感應電荷也與所設置的鏡像電荷相等。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 115 令 r＝ a，由球面上電位為零，即 ? ＝ 0，得此式應在整個球面上都成立。方法：利用導體球面上電位為零確定 和 q′。來等效?！　? 由鏡像法，感應電荷的電場可以用像電荷 q39。電位函數q? d1d212RR1R2R3q1 d1d2d2q2d1q3d2d1第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 113 例 一個點電荷 q與無限大導體平面距離為 d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？。 接地導體平面的鏡像鏡像電荷電位函數因 z = 0時，q有效區(qū)域q第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 110上半空間 ( z≥0 ）的電位函數q 導體平面上的感應電荷密度為導體平面上的總感應電荷為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 1112. 線電荷對無限大接地導體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件， 所得的解是正確的。 在導體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質幾何結構、特性不變的前提條件下，根據惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代　 接地導體柱附近有一個線電荷。 惟一性定理　 惟一性定理的重要意義　給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件　為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據　為求解結果的正確性提供了判據　 惟一性定理的表述第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 103　 惟一性定理的證明反證法 ：假設解不惟一，則有兩個位函數和 在場域 V內滿足同樣的方程，即且在邊界面 S 上有令 ， 則 在場域 V內且在邊界面 S 上滿足同樣的邊界條件。設線圈中的電流為 I，鐵軛和銜鐵的磁導率為 。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。 具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。導體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 87 設回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 ?。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。于是有 解 利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈式中 θ=?2－ ?1為 與 之間的夾角，dl1=a1d? dl2=a1d?2，且第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 85 若 d a1，則于是 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。 3. 互感同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為C1 C2I1I2Ro第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 80 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質有關，而與電流無關。導線及周圍媒質的磁導率為 μ0 。設內導體半徑為 a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為 b，空氣填充。?iC I?o粗回路第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 74 設回路 C中的電流為 I，所產生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為?，則磁鏈 ? 與回路