【正文】 0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當 α增加為 (α+ dα)時，回路中的感應(yīng)電動勢 :第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 88 對于多個載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，兩個電流回路 C1和回路 C2回路 C2的自有能回路 C1的自有能C1和 C2的互能第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 892. 磁場能量密度 從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。此時，磁場力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的能量增加 dWm。此時，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動勢以保持各回路中電流不變。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為 S ，平均長度分別為 l1 和 l2 。 解 在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通 Ψ不變，則 B和 H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化?！》蔷鶆蚋袘?yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1. 問題的提出　幾個實例　 接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖所示。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷　 結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷 或線電荷的作用?！?鏡像電荷的確定　 像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；　 像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定?！? 顯然， q1 對平面 2 以及 q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。qx? =∞?0 dd 解 ：移動電荷 q時，外力需要克服電場力做功，而電荷 q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。當電荷 q 移至 x時，像電荷 q39。應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點電荷 q與球心的連線上，距球心為 d39。rR39。aR39。 由于球殼接地，感應(yīng)電荷分布在球殼的內(nèi)表面上。r R39。的感應(yīng)電荷分布，則 　 導(dǎo)體球不接地時的特點： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面 球面上既有感應(yīng)負電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零　 采用疊加原理來確定鏡像電荷 點電荷 q 位于一個半徑為 a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為 d 。 可用一個位于球心的鏡像電荷 q來替代，即球外任意點的電位為 qPa q39。圖 1 線電荷與導(dǎo)體圓柱圖 2 線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點 ：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法： 將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為 2b 的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖 2所示。思考 ：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 126 點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖 1 點電荷與電介質(zhì)分界平面特點： 在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 127介質(zhì) 1中的電位為 計算電介質(zhì) 2 中的電位時，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。 線電流 與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 130 因為電流沿軸方向流動，所以矢量磁位只有分量，則磁介質(zhì) 1和磁介質(zhì) 2中任一點的矢量磁位分別為圖 3 磁介質(zhì) 2的鏡像線電流 在計算磁介質(zhì) 2中的磁場時，用置于介質(zhì) 1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖 3所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 136 例 無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為 U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個邊界條件： 例 均勻外電場 中，有一半徑為 a、介電常數(shù)為 ε的無限長均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 145 球坐標系中的分離變量法 電位微分方程在球坐標系中的展開式為令代入上式，得與前同理， ? 的解應(yīng)為且第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 146上式中第一項僅為 r 的函數(shù)，第二項與 r 無關(guān)。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 147 根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當 時， 因此，當場存在的區(qū)域包括 或 ? 時， ，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。試求介質(zhì)球內(nèi)的電場強度。由此獲知各系數(shù)分別為 代入前式，求得球內(nèi)外電位分別為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 152值得注意的是球內(nèi)的電場分布。 電場線 等位面xz??0aE0。球內(nèi)外的電場線如圖示。顯然，此時場分布以 z 軸為旋轉(zhuǎn)對稱，因此與 ? 無關(guān)。那么 稱為勒讓德多項式。為了便于進一步求解，令 式中 n 為整數(shù)。 xyaE0 o εP(ρ,? )第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 143① 由于圓柱表面電場強度的切向分量為零，即 ② 無限遠處的電場未受到擾動，因此電位應(yīng)為 此式表明，無限遠處電位函數(shù)僅為 cos? 的函數(shù)，可見系數(shù) ，且 m = 0。因此，分離常數(shù) k 應(yīng)為整數(shù)，即 k ＝ n ( n＝ 0,1,2,…) ?？傻玫焦世檬噶看盼粷M足的邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 132 分離變量法 將偏微分方程中含有 n個自變量的待求函數(shù)表示成 n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成 n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。問題： 如圖 1所示，磁導(dǎo)率分別為 和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì) 1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為 h。圖 2 介質(zhì) 1的鏡像電荷問題： 如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個點電荷 q，距分界平面為 h 。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 125圖 2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸 通常將帶電細線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。1. 線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 122由于上式對任意的 都成立，因此，將上式對求導(dǎo)，可以得到由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當 時，電位應(yīng)為零，即 所以有 設(shè)鏡像電荷的線密度為 ， 且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 123導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由 時，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。 Rdd39。加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 118球殼內(nèi)的電位感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上上的總感應(yīng)電荷為可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。與點荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到　 | q39。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 116可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 115 令 r＝ a，由球面上電位為零，即 ? ＝ 0，得此式應(yīng)在整個球面上都成立。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和 q′。來等效?！　? 由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以用像電荷 q39。電位函數(shù)q? d1d212RR1R2R3q1 d1d2d2q2d1q3d2d1第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 113 例 一個點電荷 q與無限大導(dǎo)體平面距離為 d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？。 接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因 z = 0時，q有效區(qū)域q第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 110上半空間 ( z≥0 ）的電位函數(shù)q 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 1112. 線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件， 所得的解是正確的。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代　 接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。 惟一性定理　 惟一性定理的重要意義　給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件　為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)　為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)　 惟一性定理的表述第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 103　 惟一性定理的證明反證法 ：假設(shè)解不惟一，則有兩個位函數(shù)和 在場域 V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面 S 上有令 ， 則 在場域 V內(nèi)且在邊界面 S 上滿足同樣的邊界條件。設(shè)線圈中的電流為 I，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為 。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。 具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 87 設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 ?。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。于是有 解 利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈式中 θ=?2－ ?1為 與 之間的夾角，dl1=a1d? dl2=a1d?2，且第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 85 若 d a1，則于是 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。 3. 互感同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為C1 C2I1I2Ro第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 80 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為 μ0 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計，其半徑為 b，空氣填充。?iC I?o粗回路第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 74 設(shè)回路 C中的電流為 I，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為?，則磁鏈 ? 與回路