【正文】 應(yīng)，求鐵軛對銜鐵的吸引力。虛位移原理第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 951 . 各回路電流維持不變 若假定各回路中電流不改變，則回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個回路都有感應(yīng)電動勢。 在時刻 t 的電流為 i =αI、磁鏈為 ψ =α? 。但是若 d a1或 d a2時，可進(jìn)行近似計算。穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為 解 設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為 I 。—— 外自感2. 自感—— 內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感： L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。 電流元 到點 的距離 。但容易 判定電位 ? 只是變量? 的函數(shù)，因此電位函數(shù) ? 滿足一維 拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到 環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2?0σ第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 59電流密度兩電極之間的 電流故 沿 ?方向的兩電極之間的電阻 為所以第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 60 恒定磁場的基本方程和邊界條件 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 電感 恒定磁場的能量 磁場力 恒定磁場分析第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 61微分形式 :1. 基本方程2. 邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即 JS＝ 0，則積分形式 :或 恒定磁場的基本方程和邊界條件第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 62 矢量磁位的定義 磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)量 ? 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。 (5) 由 ，求出兩導(dǎo)體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導(dǎo)。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì) 2介質(zhì) 1第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 52 （ 1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為 I,則由 可得電流密度介質(zhì)中的電場： 解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。這種求解場的方法稱為比擬法。 恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （ 1）恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 21 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷 +q 和 q ； (2) 計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度 E； 計算電容的步驟： (4) 求比值 ，即得出所求電容。在帶電線上位于 處的線元 ，它到點 的距離 ，則 例 求長度為 2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。1. 電位函數(shù)的定義 電位函數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 72. 電位的表達(dá)式對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位： 故得點電荷的電位：線電荷的電位：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 83. 電位差兩端點乘 ，則有將上式兩邊從點 P到點 Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明 P、 Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從 P點移至 Q 點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用 U 表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。+q電偶極子zod－ q第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 13將　 和　 代入上式， 解得 E線方程為 由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度等位線電場線電偶極子的場圖　 電場線微分方程 ：　 等位線方程 ：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 14 解 選定均勻電場空間中的一點 o為坐標(biāo)原點，而任意點 P 的位置矢量為 r，則若選擇點 o為電位參考點，即 ，則 在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有 在圓柱面坐標(biāo)系中，取 與 x軸方向一致，即 ，而 ，故 例 求均勻電場的電位分布。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。由于 ，故 可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。（ 4） 等效電容如圖所示，有三個部分電容導(dǎo)線 1 和 2 間的等效電容為導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為1 2大地大地上空的平行雙導(dǎo)線第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 32 如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功?！?電場能量密度：　 電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間　 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 36由于體積 V外的電荷密度 ρ＝ 0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。 不變q不變第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 41例 有一平行金屬板電容器，極板面積為 lb，板間距離為 d，用一塊介質(zhì)片（寬度為 b、厚度為 d，介電常數(shù)為 ε）部分填充在兩極板之間，如圖所示。 此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面； 若媒質(zhì) 1為理想介質(zhì) ， 即 ?1＝ 0， 則 J1=0， 故 J2n=0 且 E2n=0，即導(dǎo)體中 的電流和電場與分界面平行 。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 ?1和 ?2 、電導(dǎo)率為 ?1和 ?2 。(4) 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；(5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。計算沿 ?方向的兩電極之間的電阻。 解 如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均 與 ?無關(guān)，計算 xz平面上的矢量磁位與磁場 將不失一般性。求遠(yuǎn)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 77 例 計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 83因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 84 例 如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈 C1和 C2，半徑分別為 a1和 a2，中心相距為 d。 假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。此時，磁場力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的能量增加 dWm。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為 S ，平均長度分別為 l1 和 l2 ?！》蔷鶆蚋袘?yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1. 問題的提出　幾個實例　 接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖所示?！?鏡像電荷的確定　 像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；　 像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定。qx? =∞?0 dd 解 ：移動電荷 q時，外力需要克服電場力做功，而電荷 q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點電荷 q與球心的連線上，距球心為 d39。aR39。r R39。 可用一個位于球心的鏡像電荷 q來替代，即球外任意點的電位為 qPa q39。分析方法： 將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為 2b 的兩根無限長帶電細(xì)線來等效替代，如圖 2所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 127介質(zhì) 1中的電位為 計算電介質(zhì) 2 中的電位時，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 136 例 無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為 U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 145 球坐標(biāo)系中的分離變量法 電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開式為令代入上式，得與前同理， ? 的解應(yīng)為且第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 146上式中第一項僅為 r 的函數(shù)，第二項與 r 無關(guān)。試求介質(zhì)球內(nèi)的電場強(qiáng)度。 電場線 等位面xz??0aE0。顯然，此時場分布以 z 軸為旋轉(zhuǎn)對稱，因此與 ? 無關(guān)。為了便于進(jìn)一步求解，令 式中 n 為整數(shù)。因此，分離常數(shù) k 應(yīng)為整數(shù)，即 k ＝ n ( n＝ 0,1,2,…) 。問題： 如圖 1所示，磁導(dǎo)率分別為 和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì) 1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為 h。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 125圖 2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸 通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。 Rdd39。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 118球殼內(nèi)的電位感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上上的總感應(yīng)電荷為可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 116可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和 q′?！　? 由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以用像電荷 q39。 接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因 z = 0時，q有效區(qū)域q第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 110上半空間 ( z≥0 ）的電位函數(shù)q 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 1112. 線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件， 所得的解是正確的。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代　 接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。設(shè)線圈中的電流為 I，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為 。 具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 87 設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 ?。于是有 解 利用紐曼公式來計