[工學(xué)]第三章參數(shù)點(diǎn)估計(jì)(完整版)
【正文】 2 2 2X V a r X??? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? ?????4212()nn?? ??因此 : 解 : 由于 所以 σ2的 CR下界為 : 例 4.(接前例 )設(shè) x1 ,….x n 取自正態(tài)分布總體 N(μ,σ2) , 若 μ未知，討論 σ2的無(wú)偏估計(jì) 是否為有效估計(jì) . ? ?22211?1niiS x xn??? ? ?? ?2211 ()1niiS x xn???? ?由于 2221 ~ ( 1 )n Sn??? ? 其期望為 n1 , 方差為 2(n1） 所以 22? S? ?即 不是 σ2的有效估計(jì)，但為 σ2的漸近有效估計(jì) . ? ?4212nn?? ??? ? ? ?2242 22111V ar S nnn????? ? ? ???????, σ2的 CR下界為 注 1: 由其它方法可知 其方差大于 CR下界 , 即有時(shí) CR下界過(guò)小 . 22? S? ?是 σ2的 UMVUE. 2:若 μ已知 , ? ?2 422121() 12~ ( ) , .ni niiixn V a r xnn? ??????? ??????????? ?211 n ii xn ?? ?? 此時(shí) 為 σ 2的有效估計(jì) . 。 )00xexfxx???????? ????),( 21 nxxx ? 為 X 的一個(gè)樣本值 . 求 ? 的 最大似然估計(jì)量 , 并判斷它是否為達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì) ,即有效估計(jì) . 0??為參數(shù) 解 : 由似然函數(shù) ???????niixneL11)(??????? ?niixnL 1ln)(ln21)(lndd???????? ?niixnL0令?11? nii xxn? ????經(jīng)檢驗(yàn)知 ? 的最大似然估計(jì)為 11? niixxn?????所以它是 ? 的無(wú)偏估計(jì)量 ,且 2?()V a r n?? ?而 l n ( , ) l n ,xfx ?? ?? ? ?故 是達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì) . x2221l n ( , )dxfxd?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2221( ) l n ( , ) XI E f X E??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?21??21()nI n?? ? ()V a r x??E???12~ ( , ) , , , , ,1?:.nX b N p x x x Xp x pN?設(shè) 總 體 為 總 體 的 一 個(gè) 樣 本試 證 是例的 有 效 估 計(jì)2{ } ( 1 ) ( 。 )l n ( 。 )nn i nig T x x x f x d x d x??? ? ? ?? ? ? ? ?? ???的微分可在積分號(hào)下進(jìn)行，即 1 2 1111211( ) ( , , , )( , ,( ( 。 )( 。 , )niin xniiL f x e??? ? ? ? ? ?????????其中 , 1 , 2 , ,ix i n???當(dāng) , 1 , 2 , ,ix i n???11l n l n ( )niiL n x??? ?? ? ? ??時(shí) 令 21l n 1( ) 0ln0niiLnxLn?? ? ??????? ? ? ?????????? ???ln 0Ln??? ???第二個(gè)似然方程求不出 θ的估計(jì)值，觀察 ，表明 L是 μ的嚴(yán)格遞增函數(shù)，又 , 1 , 2 , ,ix i n???
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