【正文】 電容的特點(diǎn)：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 31 在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導(dǎo)體作為電容器的兩個電極，設(shè)在這兩個電極間加上電壓 U，極板上所帶電荷分別為 ，則比值 稱為這兩個導(dǎo)體間的等效電容。（ 4） 等效電容如圖所示，有三個部分電容導(dǎo)線 1 和 2 間的等效電容為導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為1 2大地大地上空的平行雙導(dǎo)線第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 32 如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。　 靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量　 靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立 (或充電 )過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。 靜電場的能量 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 331. 靜電場的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 ? 。 充電過程中某一時刻的電荷量為 αq、電位為 α? 。 (0≤α≤1) 當(dāng) α增加為 (α+ dα)時，外電源做功為 :α? (q dα)。 對 α從 0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量 We ，即 對于電荷體密度 ρ為的體分布電荷，體積元 dV中的電荷 ρdV具有的電場能量為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 34故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷， 電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有—— 第 i個導(dǎo)體所帶的電荷—— 第 i個導(dǎo)體的電位式中：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 352. 電場能量密度 從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。　 電場能量密度：　 電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間　 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 36由于體積 V外的電荷密度 ρ＝ 0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面 S無限擴(kuò)大時，則有故 推證：ρρ＝ 0S第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 37 例 半徑為 a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為 ρ的電荷，試求靜電場能量。 解 ： 方法一 ， 利用 計算 根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度 故第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 38 方法二 ： 利用 計算 先求出電位分布 故第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 39 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。 虛位移法 ： 假設(shè)第 i個帶電 導(dǎo)體在電場力 Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?dWe。 根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中 dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。 靜 電 力第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 401. 各帶電導(dǎo)體的電位不變 此時，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS＝ 0，因此2. 各帶電導(dǎo)體的電荷不變式中的 “－ ”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。 不變q不變第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 41例 有一平行金屬板電容器，極板面積為 lb，板間距離為 d，用一塊介質(zhì)片（寬度為 b、厚度為 d，介電常數(shù)為 ε）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為 U0，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。所以電容器內(nèi)的電場能量為由 可求得介質(zhì)片受到的靜電力為 解 平行板電容器的電容為部分填充介質(zhì)的平行板電容器d bU0lx由于 εε0，所以介質(zhì)片所受到的力有將其拉進(jìn)電容器的趨勢第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 42 此題也可用式 來計算q不變設(shè)極板上保持總電荷 q不變，則由此可得由于同樣得到第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 43 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 由 J＝ ?E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （ 1）恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。 （ 2）恒定電場中有電場能量的損耗 ,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 44 恒定電場的基本方程和邊界條件1. 基本方程? 恒定電場的基本方程為微分形式： 積分形式：? 恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度? 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系? 恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 452. 恒定電場的邊界條件媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1? 場矢量的邊界條件即即? 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 46? 電位的邊界條件 恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面； 說明：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 47媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1 如 ?2σ且 ?2≠90176。， 則 ?1＝ 0， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面； 若媒質(zhì) 1為理想介質(zhì) ， 即 ?1＝ 0， 則 J1=0， 故 J2n=0 且 E2n=0，即導(dǎo)體中 的電流和電場與分界面平行 。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 48 恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 49恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（ 區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 50 例 　 一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 ??1和 ? ?2，外加電壓 U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解 ：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿 z方向。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 51 例 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體半徑為 c，介質(zhì)的分界面半徑為 b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 ?1和 ?2 、電導(dǎo)率為 ?1和 ?2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為 U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（ 2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì) 2介質(zhì) 1第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 52 （ 1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為 I,則由 可得電流密度介質(zhì)中的電場： 解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設(shè)電流為 I， 由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 53故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為由于于是得到第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 54 （ 2）由 可得，介質(zhì) 1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì) 2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 55 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓 U 時，必定會有微小的漏電流 J 存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即 漏電導(dǎo)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 56(1) 假定兩電極間的電流為 I；(2) 計算兩電極間的電流密度 矢量 J；(3) 由 J = ? E 得到 E 。(4) 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；(5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。? 計算電導(dǎo)的方法一 ： ? 計算電導(dǎo)的方法二 ： (1) 假定兩電極間的電位差為 U； (2) 計算兩電極間的電位分布 ? ； (3) 由 得到 E。 (4) 由 J = ? E 得到 J。 (5) 由 ，求出兩導(dǎo)體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導(dǎo)。? 計算電導(dǎo)的方法三 ：靜電比擬法：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 57 例 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為 a、 b，長度為 l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 σ 、介電常數(shù)為 ε 。解 ： 直接用恒定電場的計算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為 I。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 58方程通解為 例 在一塊厚度 h 的導(dǎo)電板上， 由兩個半徑為 r1和 r2的圓弧和夾角為 ? 0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計算沿 ?方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 σ。 解： 設(shè)在沿 ?方向的兩電極之間外加電壓 U0， 則電流沿 ? 方向流動，而且電流密度是隨 ?變化的。但容易 判定電位 ? 只是變量? 的函數(shù)，因此電位函數(shù) ? 滿足一維 拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到 環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1h