【正文】 的隨機(jī)過(guò)程。 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2p x , t p x , p x , x , t , t p x , x ,??? ? ?17 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 （ 1） 數(shù)學(xué)期望 （ 均值 ） :與時(shí)間無(wú)關(guān) ? ? ? ? ? ?11 XE X t x p x , t d x x p x d x m???? ???? ? ? ??? ?? （ 2） 方差：與時(shí)間無(wú)關(guān) ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?2212212 2 2XXXXD X t E X ( t ) E X ( t )x m p x , t dxx p x dx mE x m ????????? ?????? ??????? ? ???18 ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 1 2 1 2XXR t , t x x p x , x , d x d x R? ? ????? ??? ? ??? （ 3） 自相關(guān)函數(shù) （ 與時(shí)間間隔 τ 有關(guān) ） （ 4） 自協(xié)方差函數(shù) （ 與時(shí)間間隔 τ有關(guān) ） ? ? ? ? ? ?211X X X XC t , t R m C? ? ?? ? ? ? 寬 (廣義 )平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 (定義 ): 若 X(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù) ， 自相關(guān)函數(shù)只與 時(shí)間間隔 τ有關(guān) ， 則稱 X(t)為寬 (廣義 )平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)，反之，不一定，對(duì)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，二者等價(jià) 不加特殊說(shuō)明，平穩(wěn)過(guò)程均指寬平穩(wěn) 19 注意： 通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲 ， 大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程 。 以后討論的隨機(jī)過(guò)程除特殊說(shuō)明外 ，均假定是平穩(wěn)的 ， 且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ， 簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程 。 20 聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ? ? ? ? ? ? ? ?XY XYR t , t E X t Y t R? ? ???? ? ? ??? 若 X(t)， Y(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ， 且 則稱 X(t)， Y(t)是聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 。 21 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 條件： X(t)是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 。 ? ? ? ? ? ?210XR E X t??? ?? 若 X(t)是電流或電壓 ， 則 X2(t)是它在 1歐姆電阻上的瞬時(shí)功率 (t時(shí)刻 )， 而 RX(0)是其 統(tǒng)計(jì)平均功率 (與 t無(wú)關(guān) )。 (4) 若 X(t)=X(t+T)， 即為周期是 T的隨機(jī)過(guò)程 ? ? ? ?XXR R T????? ? ? ? ? ?2 XXRR????? ? ? ? ? ?30XXRR? ? (5) 一般當(dāng) |τ |→∞ ， X(t)與 X(t+τ)相互獨(dú)立 ， 所以 ? ? ? ?2Xlim R E X t? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2X60 XXE X t E X t R R? ?? ??? ? ?????＝－ X(t)的直流功率 X(t)的交流功率 若均值為 0，則方差＝？ 22 各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性） 有種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ， 它的數(shù)字特征 （ 均為統(tǒng)計(jì)平均 ）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征 （ 均為時(shí)間平均 ） 來(lái)替代 。 也就是說(shuō) ， 假設(shè) x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 X(t)的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn) ， 它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為 221 T/T/Tx ( t ) x ( t ) d tTlim???? ?221 T/T/Tx ( t ) X ( t ) x ( t ) X ( t ) d tTlim?????? ? ??23 如果： ? ?? ?11XP R ( ) x ( t ) x ( t )P E X ( t ) x ( t )??? ??? ? ?????????“各態(tài)歷經(jīng) ” 的含義 ：隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài) 。 因此 ， 我們無(wú)需 （ 實(shí)際中也不可能 ） 獲得大量用來(lái)計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù) ， 而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征 ， 從而使 “ 統(tǒng)計(jì)平均 ” 化為 “ 時(shí)間平均 ” ，使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化 。 則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性 。 均值遍歷過(guò)程 自相關(guān)遍歷過(guò)程 24 注意： 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ， 但平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的 。 在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲 ， 一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件 。 如果不加特別說(shuō)明 ， 遍歷過(guò)程即寬遍歷過(guò)程 。 強(qiáng)調(diào)： 對(duì)于遍歷過(guò)程 ， 只要根據(jù)其一個(gè)樣函數(shù) ，便可得到其數(shù)字特征 。 25 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度 隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的功率型信號(hào) 。 而對(duì)于任意的確定功率信號(hào) f(t)， 它的功率譜密度為 2TxTF ( )P ( )Tlim????? 隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性是用它的功率譜密度來(lái)表述的 。 FT(ω)是 x(t)的截短函數(shù) xT(t)所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù) 。 我們可以把x(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 X(t)中的任一實(shí)現(xiàn) ， 因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來(lái)表示 。 0TTx ( t ) t TF ( ) x ( t )tT?????? ??26 功率信號(hào) x(t)及其截短函數(shù) xT(t) O tx T( t )tOT2163。T2x ( t )27 由于 X(t)是無(wú)窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即 22TTX TTE F ( )F ( )P ( ) E l i m l i mTT???? ? ? ?????????????PX(ω)就被稱為隨機(jī)過(guò)程 X(t)的功率譜密度。 28 維納－辛欽定理 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度互為傅立葉變換 ， 即： XxR ( ) P ( )???著名的維納－辛欽定理 ?。。? 29 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì) ? ? ? ?10XP ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 120 2XXR E X t P d??? ????????? ?? ? ? ? ? ?30 XXP R d?????? ? (4) 若 X(t)是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ， 則 RX(τ)和 PX(ω)均為偶函數(shù) 。 ? ? ? ?2022XX PG ??? ?? ?? ? ?? 另外的變換關(guān)系 ？ 課本 P43 是 X(t)在 1Ω電阻上的平均功率 單邊功率譜定義： 30 例 ? ?10220p??? ??? ??????? 其它? ? ? ?12XXX ( t ) R t , t P ?求 的 和 。 并判斷是否是廣義平穩(wěn) ？ 已知 X(t)＝ sin(ω0t+θ)， 其中 ω0為常數(shù) ， θ為 均勻分布的隨機(jī)變量 ， 其概率密度為： 31 ? ?? ?? ?? ? ? ?0c o s21s i ns i n21c o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o ss i n)]([)(20020000000????????????????????????????????dtdttEtEttEtEtXEtmXX(t)的自相關(guān)函數(shù)為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ??????????012012022020222121c o s210c o s212c o sc o s21[]s i n[ s i n)]()([),(?????????????ttttttEttEtXtXEttR解：先考察是否是寬平穩(wěn)過(guò)程，條件？ 結(jié)論：寬平穩(wěn) ！ ? ? ? ?? ?000 2)()(c os21 ??????????? ?????? XX PR32 （正態(tài)） ：若一隨機(jī)過(guò)程的任意 n維 （ n=1, 2, …） 概率密度都是正態(tài)分布 ， 則稱它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程 。 公式見(jiàn) P44。 ? ?為方差為數(shù)學(xué)期望， 2221a]2)(e x p [21????axxp???： （ 1） 高斯過(guò)程的寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)是一致的 。 （ 2） 對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的任何兩個(gè)時(shí)刻的隨機(jī) 變量 ， 不相關(guān)也就是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立 。 ： 一維正態(tài)概率密度表示式： 33 p ( x )12 ??Oa x一維正態(tài)概率密度曲線 34 一維正態(tài)概率密度性質(zhì)： (2)p(x)對(duì)稱于 x=a 21)()(1 ?? ?? ??? aa dxxpdxxp）（說(shuō)明 ： a表示分布中心， σ表示集中程度， p(x)圖形將隨著 σ的減小而變高和變窄。 當(dāng) a=0， σ=1時(shí)，稱p(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。 35 這個(gè)積分無(wú)法用閉合形式計(jì)算 ， 我們要設(shè)法把這個(gè)積分式和可以在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來(lái) ， 一般常用以下幾種特殊函數(shù)： 正態(tài)分布函數(shù)： dzazxF x ]2 )(e xp [21)(22?????? ???36 （ 1） 誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)。 誤差函數(shù)的定義式為 ? ?? x t dtexe r f 0 22)( ?誤差函數(shù) erf(x)是自變量的遞增函數(shù) erf(0)=0， erf(∞)= 1， 且 erf(x)=