【正文】 的隨機過程。 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2p x , t p x , p x , x , t , t p x , x ,??? ? ?17 嚴平穩(wěn)隨機過程的數字特征 （ 1） 數學期望 （ 均值 ） :與時間無關 ? ? ? ? ? ?11 XE X t x p x , t d x x p x d x m???? ???? ? ? ??? ?? （ 2） 方差：與時間無關 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?2212212 2 2XXXXD X t E X ( t ) E X ( t )x m p x , t dxx p x dx mE x m ????????? ?????? ??????? ? ???18 ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 1 2 1 2XXR t , t x x p x , x , d x d x R? ? ????? ??? ? ??? （ 3） 自相關函數 （ 與時間間隔 τ 有關 ） （ 4） 自協(xié)方差函數 （ 與時間間隔 τ有關 ） ? ? ? ? ? ?211X X X XC t , t R m C? ? ?? ? ? ? 寬 (廣義 )平穩(wěn)隨機過程 (定義 ): 若 X(t)的數學期望為常數 ， 自相關函數只與 時間間隔 τ有關 ， 則稱 X(t)為寬 (廣義 )平穩(wěn)隨機過程 嚴平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)，反之，不一定，對正態(tài)隨機過程，二者等價 不加特殊說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn) 19 注意： 通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲 ， 大多數可視為平穩(wěn)的隨機過程 。 以后討論的隨機過程除特殊說明外 ，均假定是平穩(wěn)的 ， 且均指廣義平穩(wěn)隨機過程 ， 簡稱平穩(wěn)過程 。 20 聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機過程 ? ? ? ? ? ? ? ?XY XYR t , t E X t Y t R? ? ???? ? ? ??? 若 X(t)， Y(t)是平穩(wěn)隨機過程 ， 且 則稱 X(t)， Y(t)是聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機過程 。 21 平穩(wěn)隨機過程相關函數的性質 條件： X(t)是實平穩(wěn)隨機過程 。 ? ? ? ? ? ?210XR E X t??? ?? 若 X(t)是電流或電壓 ， 則 X2(t)是它在 1歐姆電阻上的瞬時功率 (t時刻 )， 而 RX(0)是其 統(tǒng)計平均功率 (與 t無關 )。 (4) 若 X(t)=X(t+T)， 即為周期是 T的隨機過程 ? ? ? ?XXR R T????? ? ? ? ? ?2 XXRR????? ? ? ? ? ?30XXRR? ? (5) 一般當 |τ |→∞ ， X(t)與 X(t+τ)相互獨立 ， 所以 ? ? ? ?2Xlim R E X t? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2X60 XXE X t E X t R R? ?? ??? ? ?????＝－ X(t)的直流功率 X(t)的交流功率 若均值為 0，則方差＝？ 22 各態(tài)歷經性（遍歷性） 有種平穩(wěn)隨機過程 ， 它的數字特征 （ 均為統(tǒng)計平均 ）完全可由隨機過程中的任一實現的數字特征 （ 均為時間平均 ） 來替代 。 也就是說 ， 假設 x(t)是平穩(wěn)隨機過程 X(t)的任意一個實現 ， 它的時間均值和時間相關函數分別為 221 T/T/Tx ( t ) x ( t ) d tTlim???? ?221 T/T/Tx ( t ) X ( t ) x ( t ) X ( t ) d tTlim?????? ? ??23 如果： ? ?? ?11XP R ( ) x ( t ) x ( t )P E X ( t ) x ( t )??? ??? ? ?????????“各態(tài)歷經 ” 的含義 ：隨機過程中的任一實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態(tài) 。 因此 ， 我們無需 （ 實際中也不可能 ） 獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數 ， 而只需從任意一個隨機過程的樣本函數中就可獲得它的所有的數字特征 ， 從而使 “ 統(tǒng)計平均 ” 化為 “ 時間平均 ” ，使實際測量和計算的問題大為簡化 。 則稱該平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經性 。 均值遍歷過程 自相關遍歷過程 24 注意： 具有各態(tài)歷經性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程 ， 但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經的 。 在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲 ， 一般均能滿足各態(tài)歷經條件 。 如果不加特別說明 ， 遍歷過程即寬遍歷過程 。 強調： 對于遍歷過程 ， 只要根據其一個樣函數 ，便可得到其數字特征 。 25 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度 隨機過程中的任一實現是一個確定的功率型信號 。 而對于任意的確定功率信號 f(t)， 它的功率譜密度為 2TxTF ( )P ( )Tlim????? 隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的 。 FT(ω)是 x(t)的截短函數 xT(t)所對應的頻譜函數 。 我們可以把x(t)看成是平穩(wěn)隨機過程 X(t)中的任一實現 ， 因而每一實現的功率譜密度也可用上式來表示 。 0TTx ( t ) t TF ( ) x ( t )tT?????? ??26 功率信號 x(t)及其截短函數 xT(t) O tx T( t )tOT2163。T2x ( t )27 由于 X(t)是無窮多個實現的集合，哪一個實現出現是不能預知的，因此，某一實現的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看做是任一實現的功率譜的統(tǒng)計平均，即 22TTX TTE F ( )F ( )P ( ) E l i m l i mTT???? ? ? ?????????????PX(ω)就被稱為隨機過程 X(t)的功率譜密度。 28 維納－辛欽定理 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數與功率譜密度的關系 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數與功率譜密度互為傅立葉變換 ， 即： XxR ( ) P ( )???著名的維納－辛欽定理 ?。?！ 29 平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質 ? ? ? ?10XP ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 120 2XXR E X t P d??? ????????? ?? ? ? ? ? ?30 XXP R d?????? ? (4) 若 X(t)是實平穩(wěn)隨機過程 ， 則 RX(τ)和 PX(ω)均為偶函數 。 ? ? ? ?2022XX PG ??? ?? ?? ? ?? 另外的變換關系 ？ 課本 P43 是 X(t)在 1Ω電阻上的平均功率 單邊功率譜定義： 30 例 ? ?10220p??? ??? ??????? 其它? ? ? ?12XXX ( t ) R t , t P ?求 的 和 。 并判斷是否是廣義平穩(wěn) ？ 已知 X(t)＝ sin(ω0t+θ)， 其中 ω0為常數 ， θ為 均勻分布的隨機變量 ， 其概率密度為： 31 ? ?? ?? ?? ? ? ?0c o s21s i ns i n21c o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o ss i n)]([)(20020000000????????????????????????????????dtdttEtEttEtEtXEtmXX(t)的自相關函數為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ??????????012012022020222121c o s210c o s212c o sc o s21[]s i n[ s i n)]()([),(?????????????ttttttEttEtXtXEttR解：先考察是否是寬平穩(wěn)過程，條件？ 結論：寬平穩(wěn) ！ ? ? ? ?? ?000 2)()(c os21 ??????????? ?????? XX PR32 （正態(tài)） ：若一隨機過程的任意 n維 （ n=1, 2, …） 概率密度都是正態(tài)分布 ， 則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程 。 公式見 P44。 ? ?為方差為數學期望， 2221a]2)(e x p [21????axxp???： （ 1） 高斯過程的寬平穩(wěn)和嚴平穩(wěn)是一致的 。 （ 2） 對于正態(tài)隨機過程的任何兩個時刻的隨機 變量 ， 不相關也就是統(tǒng)計獨立 。 ： 一維正態(tài)概率密度表示式： 33 p ( x )12 ??Oa x一維正態(tài)概率密度曲線 34 一維正態(tài)概率密度性質： (2)p(x)對稱于 x=a 21)()(1 ?? ?? ??? aa dxxpdxxp）（說明 ： a表示分布中心， σ表示集中程度， p(x)圖形將隨著 σ的減小而變高和變窄。 當 a=0， σ=1時，稱p(x)為標準正態(tài)分布的密度函數。 35 這個積分無法用閉合形式計算 ， 我們要設法把這個積分式和可以在數學手冊上查出積分值的特殊函數聯(lián)系起來 ， 一般常用以下幾種特殊函數： 正態(tài)分布函數： dzazxF x ]2 )(e xp [21)(22?????? ???36 （ 1） 誤差函數和互補誤差函數。 誤差函數的定義式為 ? ?? x t dtexe r f 0 22)( ?誤差函數 erf(x)是自變量的遞增函數 erf(0)=0， erf(∞)= 1， 且 erf(x)=