[工學(xué)]第三章 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)-文庫(kù)吧
2024-12-20 21:46 本頁(yè)面
【正文】 舉例說(shuō)明如何求極大似然估計(jì) L(p)= 設(shè) X1,X2,… Xn是取自總體 X~b(1, p) 的一個(gè)樣本，求參數(shù) p的極大似然估計(jì) . 解：似然函數(shù)為 : 例 1 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為： 對(duì) p求導(dǎo)并令其為 0， =0 得 即為 p 的 MLE . 似然函數(shù)為： 它與矩估計(jì)量是相同的。 例 3 設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個(gè)樣本 , ，求參數(shù) a , b 的最大似然估計(jì)值。 ~ ( , )X U a b解 1 ,( 。 , )0 , , .a x bf x a b baothe rs????? ????1 / ( ) , ,( , )0 , .nib a a x bL a bothe rs? ? ? ?? ??似然函數(shù) 所以 12m in ( , , )na x x x?12m a x ( , , )nb x x x?所以 11( , )( ) m a x m i nnL a bba????則要使得 ( , )L a b取最大值 12? m in ( , , )na x x x?12? m a x( , , )nb x x x?注：特殊的似然函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)得不到其最大， 需要用其它的方法。 例 4 設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個(gè)樣本 , 求 ⑴ 參數(shù) θ和 μ的矩估計(jì)量； 1,( 。 , ) , 00 , .xexfxx?? ?? ? ???????????? ??⑵ 參數(shù) θ和 μ的最大似然估計(jì)量。 解 ⑴ 令 1122AA????? ??21211 niiA X A Xn ??? ?其中 ，1 ( ) ( 。 , )E X x f x d x? ? ??????? ?xxe d x??????????? ? ??222 ( ) ( 。 , )E X x f x d x? ? ??????? ?22222xxe d x???? ? ? ??????? ? ? ??所以 12 2 211122niiniiXnXn??? ?? ?????????? ? ? ?????解得參數(shù) θ和 μ的矩估計(jì)量為 11? ?,nnS X Snn?? ??? ? ?⑵ 設(shè) x1, x2, …, xn是 X1, X2, …, Xn的樣本值，則 似然函數(shù)為 11 ()1( , ) ( 。 , )niin xniiL f x e??? ? ? ? ? ?????????其中 , 1 , 2 , ,ix i n???當(dāng) , 1 , 2 , ,ix i n???11l n l n ( )niiL n x??? ?? ? ? ??時(shí) 令 21l n 1( ) 0ln0niiLnxLn?? ? ??????? ? ? ?????????? ???ln 0Ln??? ???第二個(gè)似然方程求不出 θ的估計(jì)值，觀察 ，表明 L是 μ的嚴(yán)格遞增函數(shù)，又 , 1 , 2 , ,ix i n??? ，故 1m in { , , }nxx? ?1m in { , , }nxx? ?所以當(dāng) 時(shí) L 取到最大值 從而參數(shù) θ和 μ的最大似然估計(jì)值分別為 1? m in { , , }nxx? ?111? ?( ) m i n { , , }ninix x x xn???? ? ? ??則參數(shù) θ和 μ的最大似然估計(jì)量分別為 1? m in { , , }nXX? ?1? m in { , , }nX X X? ??極大似然估計(jì)不變性 由于估計(jì)量作為樣本的函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量 , 對(duì)于不同的樣本值 , 估計(jì)值也不同 , 因此評(píng)價(jià)一個(gè) 估計(jì)量的優(yōu)劣就不能僅由一個(gè)觀測(cè)值來(lái)確定 , 而要 根據(jù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)來(lái)
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