【正文】 已知 ，求得球內(nèi)的電場為可見，球內(nèi)電場仍然為均勻電場，而且球內(nèi)場強(qiáng)低于球外場強(qiáng)。 所以，通常令那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合 若靜電場與變量 ? 無關(guān)，則 m = 0 。試求介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)和電場強(qiáng)度。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 131相應(yīng)的磁場可由 求得。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。分析方法 ：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖 2所示。Pqar Rd第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 120 然后斷開接地線，并將電荷－ q39。與鏡像電荷 q 應(yīng)位于導(dǎo)體球殼外，且在點(diǎn)電荷 q與球心的連線的延長線上。 Rdd39。應(yīng)位于－ x，則有第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 114 導(dǎo)體球面的鏡像1. 點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q39?！τ谄矫?1，有鏡像電荷 q1=－ q，位于 (－ d1, d2 )對于平面 2，有鏡像電荷 q2=－ q，位于 ( d1, － d2 ) 只有在 (－ d1, － d2 )處 再設(shè)置一鏡像電荷 q3 = q，所有邊界條件才能得到滿足?！?問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 1072. 鏡像法的原理 用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。于是作用在銜鐵上的磁場力為電磁鐵空氣隙中的磁場強(qiáng)度第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 98若采用式 計(jì)算，由儲存在系統(tǒng)中的磁場能量由于 和 ，考慮到 ，可得到同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為根據(jù)安培環(huán)路定律，有第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 99 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 邊值問題的類型 已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即　 邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函 數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程　 第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即 已知場域一部分邊界面上的 位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知 位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即　 第三類邊值問題（或混合邊值問題）　 第二類邊值問題（或紐曼問題）第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 100 自然邊界條件 （無界空間） 周期邊界條件 銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 101例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 102 在場域 V 的邊界面 S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域 V 具有惟一值。此時(shí)，電源所源提供的能量 即于是有故得到 不變系統(tǒng)增加的磁能 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 962. 各回路的磁通不變故得到式中的 “－ ”號表示 磁場力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場能量來實(shí)現(xiàn)的 。　 磁場能量密度：　 磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)閳鏊诘恼麄€空間　 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 90若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面 S無限擴(kuò)大時(shí)，則有 故 推證：S第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 91 例 同軸電纜的 內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a， 外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b和 c，如圖所示。 電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動，表明恒定 磁場具有能量。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn) P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 78于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感兩根導(dǎo)線單位的長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 79 對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路 C2 ，當(dāng)回路 C1中通過電流 I1時(shí)，不僅與回路 C1交鏈的磁鏈與 I1成正比，而且與回路 C2交鏈的磁鏈 ?12也與 I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路 C1 對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。設(shè)同軸線中的電流為 I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元 dS =d?的磁通為 例 求同軸線單位長度的自感。與計(jì)算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位 xyzLL第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 692. 恒定磁場的標(biāo)量磁位　 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在 無傳導(dǎo)電流（ J＝ 0）的空間 中，則有即在無傳導(dǎo)電流 （ J＝ 0） 的空間中，可以引入一個 標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。為了得到確定的 A，可以對 A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定　　　　，并稱為庫侖規(guī)范。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為 a、 b，長度為 l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 σ 、介電常數(shù)為 ε 。第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 53故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為由于于是得到第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 54 （ 2）由 可得，介質(zhì) 1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì) 2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 55 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。 根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中 dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為 αq、電位為 α? 。　 αi j 0 ； 電位系數(shù)的特點(diǎn)：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 27若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為 式中： —— 自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù) —— 互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù) （ 2） 電容系數(shù)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 28 β i j 在數(shù)值上等于第 j個導(dǎo)體上的 電位為一個單位、而其余導(dǎo) 體接地時(shí)， 第 i 個導(dǎo)體上的電量，即 β i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；　 具有對稱性，即 β i j = β j i 。 求此球形電容器的電容。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為 當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)； 同一個問題只能有一個參考點(diǎn)。4. 電位參考點(diǎn)　 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 10在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程在無源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 116. 靜電位的邊界條件 設(shè) P1和 P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為 ?1和 ?2。這時(shí)可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。孤立導(dǎo)體球的電容第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 23 例 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為 a，兩導(dǎo)線的軸線距離為 D，且 D a，求傳輸線單位長度的電容。　 β i i 0 、 ； 電容系數(shù)的特點(diǎn)：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 29將各導(dǎo)體的電量表示為 式中：（ 3） 部分電容—— 導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體 j 之間的部分電容—— 導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 30 Ci i 在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個單位時(shí)， 第 i 個導(dǎo) 體上的電量； Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；　 具有對稱性，即 Ci j = Cj i 。 (0≤α≤1) 當(dāng) α增加為 (α+ dα)時(shí)，外電源做功為 :α? (q dα)。 具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 44 恒定電場的基本方程和邊界條件1. 基本方程? 恒定電場的基本方程為微分形式： 積分形式：? 恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度? 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系? 恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 452. 恒定電場的邊界條件媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1? 場矢量的邊界條件即即? 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 46? 電位的邊界條件 恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面； 說明：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 47媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1媒質(zhì) 2媒質(zhì) 1 如 ?2σ且 ?2≠90176。 解 ：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿 z方向。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓 U 時(shí)，必定會有微小的漏電流 J 存在。解 ： 直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為 I。1. 恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位 恒定磁 場 的矢量磁位和 標(biāo) 量磁位第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 63 磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表達(dá)式第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 64 磁矢位的邊界條件由此可得出 （可以證明滿足 ） 對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為面電流 ： 細(xì)線電流 ： 利用磁矢位計(jì)算磁通量：第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 65 例 求 小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。 標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位 磁標(biāo)位的微分方程 (均勻線性各向同性介質(zhì)第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解電磁場與電磁波 70 標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向