【正文】 第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解 A B 對于線性定常系統(tǒng)，為保證狀態(tài)方程解的存在性和唯一性，系統(tǒng)矩陣 和輸入矩陣 中各元必須有界。 167。 線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解） 線性定常系統(tǒng)在沒有外加輸入作用下，即 ，由初始條件 0u?引起的運(yùn)動(dòng)稱為自由運(yùn)動(dòng)，亦稱為零輸入響應(yīng)。 0( 0 ) 0x A x x x t? ? ?0( ) ( )x t t x??解可以表示為 ()t?其中 稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 0t? ()xt 0x系統(tǒng)在 任一時(shí)刻的狀態(tài) 僅僅是初始狀態(tài) 的轉(zhuǎn)移。 ( ) ( )( 0 )t A tI? ? ???()t?狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 滿足 nn?的 矩陣，也稱為矩陣指數(shù)函效，簡稱矩陣指數(shù)。 00( ) ( ) Atx t t x e x? ? ?01 1 1()2 ! ! !A t k k k kkt e I A t A t A tkk ??? ? ? ? ? ? ? ? ?結(jié)論 1：前式 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)表達(dá)式為 其中 通過假定 20 1 20() kkkx t b b t b t b t??? ? ? ? ? ?代入系統(tǒng)方程中確定參數(shù)獲得 ，并利用零時(shí)刻的狀態(tài)條件 狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上可歸結(jié)為計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即矩陣指數(shù)函數(shù) Ate長的帥，其實(shí)還還不如長的普通一點(diǎn)。 長的帥的男生，很少有機(jī)會(huì)有追到漂亮女生。 反而是那些長的普通一點(diǎn)的，有點(diǎn)肉的那一型，往往一試驚人。 帥哥的悲哀，往往在于長的太帥，被美眉誤認(rèn)為花心，而對其有警戒心，然而大部分的帥哥都很純情的。 長相令人覺得安全的豬頭男， 其實(shí)是最不安全的，用一句話形容豬頭男的絕招是最恰當(dāng)不過了 ——扮豬吃老虎。 在這年頭， 美女往往被豬頭男扒到。真正的帥哥只好去配恐龍。這樣下去。不出一百年。地球上的俊男美女會(huì)越來越少。 有點(diǎn)肉的那一型， 有點(diǎn)肩膀， 靠起來很舒服的。臉上有明顯的 v 字型。這類 average looking 的男生， 機(jī)會(huì)往往特別多。同時(shí)， 追女孩子也特別容易成功。他們的桃花運(yùn)最強(qiáng)。 豬頭容易成功的原因有很多： 第一點(diǎn)， 是扮老實(shí)純情 第二點(diǎn)， 是厚臉皮 這兩點(diǎn)相加。那種愛你一生一世的肉麻話， 隨時(shí)都說的出口。扮老實(shí)， 所以講這一類花言巧語，特別容易令人相信。厚臉皮，所以甜言蜜語說的永遠(yuǎn)不臉紅。假的都能說成真的。 第三點(diǎn)， 美女永遠(yuǎn)都相信，她臨幸豬頭，豬頭就會(huì)感激的痛哭流涕，甚至以身相許。 因?yàn)橐苍S除了她，就不會(huì)有人看上豬頭了。 這一點(diǎn)是一種令人百思不得其解的神話。因?yàn)?，以我長期觀察，豬頭之所以叫豬頭，他們非凡的變心能力是令人驚訝的。美眉們的這種想法大概是出于母愛本能吧。 第四點(diǎn)，當(dāng)豬頭察覺成功機(jī)率小與失敗機(jī)率時(shí)，豬頭們往往不浪費(fèi)子彈，馬上轉(zhuǎn)移目標(biāo)。 根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)，你的嘗試越多，命中目標(biāo)的機(jī)會(huì)越大。 至于帥哥失敗的機(jī)會(huì)較大， 有一部份是女孩的警戒心。 長的帥。當(dāng)你想約女孩子出來時(shí)，女孩容易對你起戒心，你所費(fèi)的功夫就多一些。 因?yàn)殚L的帥， 你成了眾女士心中的花瓶， (花瓶不是女人的專利 ^0^) 你的一舉一動(dòng)往往在許多人的觀察之中，也因此， (長的帥的朋友要注意咯 ) 特別容易受到朋友親戚的關(guān)愛。因此，帥哥不敢說甜言蜜語，害怕所說的話被廣播，甚至被原音重現(xiàn)。 而且?guī)浉?，既然身為為帥哥，自然很注重形象，因此臉皮薄。不敢有大?dòng)作，更不會(huì)死纏爛打， 因此當(dāng)和豬頭同臺(tái)競技時(shí)，往往未出手就先輸一半。 如此一來， 帥哥往往不容易追到美眉。因此被豬頭追走。 奉勸各位帥哥， 形象誠可貴， 愛情價(jià)更高。 在如此激烈競爭的今日社會(huì)， 幽雅的動(dòng)作， 是很難成功的。 身為帥哥， 是好是壞， 有兩種解釋 當(dāng)帥哥看到鏡子中的自己時(shí)， 是自信滿滿的。 當(dāng)帥哥看到豬頭旁的美眉時(shí)， 是充滿遺憾的。 身為豬頭， 是好是壞， 也有兩種解釋 當(dāng)豬頭看到鏡子中的自己時(shí)， 是充滿遺憾的。 當(dāng)豬頭看到帥哥旁的恐龍時(shí)， 是自信滿滿的 …… 喝的是啤酒，這時(shí)你入座了 …… 你給自己倒了杯可樂，這叫低配置。 你給自已倒了杯啤酒，這叫標(biāo)準(zhǔn)配置。 你給自己倒了杯茶水，這茶的顏色還跟啤酒一樣，這叫木馬。 你給自己倒了杯可樂，還滴了幾滴醋，不僅顏色跟啤酒一樣，而且不冒熱氣還有泡泡，這叫超級(jí)木馬。 你的同事給你倒了杯白酒，這叫推薦配置。 人到齊了，酒席開始了。 你先一個(gè)人喝了一小口，這叫單元測試。 你跟旁邊的人說哥們咱們隨意，這叫交叉測試。 但是他說不行，這杯要干了，這叫壓力測試。 于是你說那就大家一起來吧，這叫內(nèi)部測試。 這個(gè)時(shí)候 boss向全場舉杯了，這叫公開測試。 菜過三巡，你就不跟他們客氣了。 你向?qū)γ娴娜司淳?，這叫 p2p. 你向?qū)γ娴娜司淳?，他回敬你，你又再敬?…… ，這叫 tcp. 你向一桌人挨個(gè)敬酒，這叫令牌環(huán)。 你說只要是兄弟就干了這杯，這叫廣播。 可是你的上司 jj聽了不高興了，只有兄弟么，罰酒三杯。這叫炸彈。 可是你的下級(jí) mm聽了不高興了，我喝一口，你喝一杯，這叫惡意攻擊。 有一個(gè)人過來向這桌敬酒，你說不行你先過了我這關(guān)，這叫防火墻。 你的小弟們過來敬你酒，這叫一對多。 你是 boss，所有人過來敬你酒，這叫服務(wù)器。 酒是一樣的，可是喝法是不同的。 你喝了一杯， boss喝了一口，這叫 c。 你喝了一杯， mm喝了一口，這叫 vb。 你喝了一杯，你大哥喝了半杯，這叫 c++。 你喝了半杯，你小弟喝了一杯，這叫匯編。 你喝了一杯，你的搭檔也喝了一杯，這叫 c。 酒是一樣的，可是喝酒的人是不同的。 你越喝臉越紅，這叫頻繁分配釋放資源。 你越喝臉越白，這叫資源不釋放。 你已經(jīng)醉了，卻說我還能喝，叫做資源額度不足。 你明明能喝，卻說我已經(jīng)醉了，叫做資源保留。 你喝一段時(shí)間就上廁所，這叫 cache。 酒過三巡，你也該活動(dòng)活動(dòng)了。 你一桌一桌的走，這叫輪巡。 你突然看到某一桌的漂亮 mm，走了過去，這叫優(yōu)先級(jí)。 你去了坐下來就不打算走了，這叫死循環(huán)。 你的老大舉杯邀你過去，你只好過去，這叫激活事件。 你向一桌敬酒，他們說不行不行我們都喝白的，于是你也喝白的，這叫本地化。 你向 boss敬酒，可是 boss被圍了起來，你只能站在外圈，這叫排隊(duì)。 你終于到了內(nèi)圈，小心翼翼的向前一步，這叫訪問臨界區(qū)。 你拍著 boss的肩膀說哥們咱們喝一杯，這叫越界。 你不知喝了幾圈了，只會(huì)說兩個(gè)字，干了，這叫 udp。 可是還有人拿著酒瓶跑過來說，剛才都沒跟你喝，這叫丟包。 喝酒喝到最后的結(jié)果都一樣 你突然跑向廁所，這叫捕獲異常。 你在廁所吐了，反而覺得狀態(tài)不錯(cuò)，這叫清空內(nèi)存。 你在臺(tái)面上吐了，覺得很慚愧，這叫程序異常。 你在 boss面前吐了，覺得很害怕，這叫系統(tǒng)崩潰。 你吐到了 boss身上，只能索性暈倒了，這叫硬件休克 167。 矩陣指數(shù)函數(shù) —— 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 0000( , ) ( ) ( , )( , )t t A t t tt t I? ? ? ?? ???的解。 0( , )tt?定義 時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 是滿足如下矩陣 微分方程和初始條件 重要性質(zhì)： ( , )t t I??2 1 1 0 2 0( , ) ( , ) ( , )t t t t t t? ? ? ?1 00( , ) ( , )t t t t?? ? ?A0( , )tt?給定后， 唯一； 變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的公式 10 0 00 1 2 2 1( , ) ( ) ( ) ( )ttt t tt t I A d A A d d?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ?只有當(dāng) 00( ) ( ) ( ) ( )ttA t A d A d A t? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? （矩陣乘法可交換 ）時(shí) ? ?00( , ) e x p ( )ttt t A d???? ?有 CaleyHamilton定理 111( ) | | 0nn nnI A a a a? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?111( ) Onn nnA A a A a A a I? ? ?? ? ? ? ? ?考慮 n n維矩陣 A及其特征方程 則 12( ) ( ) ( ) ( )n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?121nP A PO??????????????????1 1 1 112( ) ( I ) ( I ) ( I )nP A P P A P P A P P A P? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?證明： A一般地任意 n階矩陣 與三角矩陣相似，即 可得 ()?? 為 改寫 1221110OO0nnnnn?????????????????? ???????????????????1 3 12 3 211300000O00O 0nnnnn? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?0000?????? ????1 ( ) OP A P????Ate 的計(jì)算分析方法 方法一：直接計(jì)算法 (矩陣指數(shù)函數(shù) ) 2 2 3 3012 ! 3 ! !A t k kkA t A te I A t A tk??? ? ? ? ? ? ?可證明，對常數(shù)矩陣 A和有限 t值來說，該無窮級(jí)數(shù)是收斂的。 方法二：對角線標(biāo)準(zhǔn)形與 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法 121100 nttA t tteee P e P P Pe???? ? ????????????????Ate若可將矩陣 A變換為對角線標(biāo)準(zhǔn)形，那么 可由下式給出 式中， P是將 A對角線化的非奇異線性變換矩陣。 1A t J te P e P ??A類似地，若矩陣 可變換為 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，則 Ate 可由下式確定出 A0 1 00 0 11 3 3A??????????[例 ] 考慮如下矩陣 [解 ] 該矩陣的特征方程為 3 2 3| | 3 3 1 ( 1 ) 0IA? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A 1??因此，矩陣 有三個(gè)相重特征值 。 將矩陣 A變換為 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣為 1 0 01 1 01 2 1P?????????11 0 01 1 01 2 1P ????????????P矩陣 的逆為 11 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 01 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 11 2 1 1 3 3 1 2 1 0 0 1P AP J?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?212000t t tJ t t tte te t ee e tee????? ??????1A t JtPPee ??211 0 0 1 0 021 1 0 0 1 1 01 2 1 0 0 1 2 1t t tttte te t ee tee????? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?????2 2 22 2 22 2 211221122113222t t t t t tt t t t t tt t t t t t te te t e te t e t et e e te t e te t ete t e te t e e te t e??? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ???11[ ( ) ]Ate L s I A????A一般，當(dāng)系統(tǒng)矩陣 的階次較高時(shí)，可采用遞推算