【正文】 微積分期末復(fù)習(xí)總結(jié)資料（精品） 首先，就是要有正確的復(fù)習(xí)方法。在這里，我們也給大家提供幾種有效的方法以供參考： 第一、 大家首先要克服浮躁的毛病，養(yǎng)成看課本的習(xí)慣。其實，所有的考試都是從課本知識中發(fā)散來的，所以在復(fù)習(xí)時就必須看課本，反復(fù)的看，細節(jié)很重要，特別是基本概念和定理。詳細瀏覽完課本之后， 認真復(fù)習(xí)課本上的課后習(xí)題和學(xué)習(xí)指導(dǎo)上每章的復(fù)習(xí)小結(jié)，力爭復(fù)習(xí)參考題每題都過關(guān)。復(fù)習(xí)小結(jié)了然于心，然后再復(fù)習(xí)。 第二、制定復(fù)習(xí)計劃，把時間合理分配到四個章節(jié)，尤其是第二章極限尤為重點，是整個上學(xué)期微積分理論的基 礎(chǔ)。學(xué)好極限，對于理解連續(xù)還有導(dǎo)數(shù)有著重要意義，很多同學(xué)覺得越學(xué)越吃力的原因還是在于學(xué)期初沒有扎實的打好知識基礎(chǔ)。 第三、理清知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖（極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、不定積分），然后根據(jù)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖去發(fā)散、聯(lián)想基礎(chǔ)概念和基本定理和每個知識點的應(yīng)用計算題， 對本章節(jié)的內(nèi)容有個清晰的思路，這樣就可以在整體上把握書本知識。從整體上把握書本知識有利于我們對于試卷中的一些基本的題目有一個宏觀的把握，對于試卷中的問答題，可以從多角度去理解和把握，這樣就能夠做到回答問題的嚴(yán)密性。 第四、將課上老師所講授的典型例 題及做習(xí)題過程遇到的難題還有易錯的題歸納整理，分析。數(shù)學(xué)當(dāng)中很容易出現(xiàn)同一個問題有幾種不同的解決方法的情況，但是經(jīng)過總結(jié)歸納之后在應(yīng)試時可以選取一個最簡單而且效率最高的解法。比如，求極限的 13 種方法要分別練習(xí)，還有求導(dǎo)、求微分及求不定積分公式表要經(jīng)?；仡櫋? 第五、有條件的話可以看看往年的考試真題，針對出現(xiàn)較頻率較高的題型，適當(dāng)?shù)淖鲂┯嗅槍π缘哪M試題。另外，應(yīng)該多做那些自己認為知識點理解、應(yīng)用薄弱的題，對一些難題可在自己思考的基礎(chǔ)上加強與同學(xué)、老師的交流，對于那些偏題、怪題笑而棄之。 其次， 有了好 的復(fù)習(xí)方法，還要注意復(fù)習(xí)內(nèi)容，也就是復(fù)習(xí)要點。微積分上學(xué)期的主要內(nèi)容及基本要求經(jīng)過詳細整理分類主要包括以下三個部分，希望能夠?qū)Υ蠹业膹?fù)習(xí)起到事半功倍的效果： 函數(shù)、極限與連續(xù) (一 )基本概念 1．函數(shù)：常量與變量，函數(shù)的定義 2．函數(shù)的表示方法：解析法，圖示法、表格法 3．函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性 4．初等函數(shù)：基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)，分段表示的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系 5．極限：數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限、極限四則運算，無窮小量與無窮大量，無窮小量的性質(zhì)，無窮小量的比較，兩個 重要極限 6．連續(xù)：函數(shù)在一點連續(xù)，左右連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點及其分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的敘述 重點：函數(shù)概念，基本初等函數(shù)，極限的計算 難點：建立函數(shù)關(guān)系，極限概念 (二 )基本要求 1. 理解函數(shù)的概念，了解分段函數(shù)。能熟練地求函數(shù)的定義域和函數(shù)值。 2. 了解函數(shù)的主要性質(zhì) (單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性 )。 3. 熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 4. 了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。 5. 會列簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。 6. 了解極限的概念， 知道數(shù)極限的描述性定義，會求函數(shù)的左、右極限。 7. 了解無窮小量的概念，了解無窮小量的運算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系，以及無窮小量的比較等關(guān)系。 8. 掌握極限的四則運算法則 . 9. 掌握用兩個重要極限求一些極限的方法。 10. 了解函數(shù)連續(xù)性的定義，會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。 11. 了解函數(shù)間斷點的概念，會判別函數(shù)間斷點的類型。 12. 記住初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)的性質(zhì)，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)。 一元函數(shù)微分學(xué) (一 )基本概念 1．導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義，函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系，基本初等函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，對數(shù)求導(dǎo)法舉例，用參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù) 2．微分：微分的概念與運算，微分基本公式表，微分法則，一階微分形式的不變性 3．中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的敘述 4．導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：用洛比達法則去求七種未定式極限問題，函數(shù)的單調(diào)性判別法，函數(shù)的極值 及其求法，函數(shù)圖形的凹凸性及其判別法，拐點及其求法，水平與垂直漸近線，最大值、最小值問題，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟問題的應(yīng)用 重點：導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)的計算，極值，最大利潤問題 難點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng) 用 (二 )基本要求 1. 理解導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。會求曲線的切線和法線方程。知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 2. 熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則。 3. 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 4. 掌握隱函數(shù)的微分法，取對數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，以及用參數(shù)表示的函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)的方法。 5. 知道一階微分形式的不變性。 6. 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的方法。 7. 了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；知道柯西定理的條件和結(jié)論。會用拉格朗日定理證明簡單的不等式 ８ . 掌握洛比達法則求極限問題 、極值點、極值、凹凸、拐點等概念 、極值與極值點（包括判別）的方法，了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件。知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系 （包括判別）的方法，會求曲線的拐點 13. 掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法 不定積分 (一 )基本概念 1．不定積分：原函數(shù)、不定積分概念，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式表 2．積分法：第一換元積分法，第二換元積分法，分部積 分法，有理函數(shù)積分舉例，三角有理式積分舉例，積分表的使用 重點：積分概念與計算，在幾何上的應(yīng)用 難點：積分的計算及其應(yīng)用 (二 )基本要求 ，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù) (微分 )的關(guān)系 ，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法 (定義、幾何意義、物理意義 )和不定積分的性質(zhì) 最后一點，還要提醒大家的就是復(fù)習(xí)時的注意事項。在復(fù)習(xí)的過程中，應(yīng)該注意調(diào)整我們的狀態(tài)和注意休息，一般地說，我們的大腦集中于某一學(xué)科的時間 不是很長的，時間一長，我們的思維就可能處于停滯的狀態(tài)，所以我們應(yīng)該合理地安排時間，爭取在復(fù)習(xí)時將所學(xué)的幾門學(xué)科都能夠交叉安排，這樣保證大腦的高效率。同時，還應(yīng)該注意休息。考試期間的復(fù)習(xí)效率很低，那時看看書適當(dāng)放松，把習(xí)題簡單回顧一下足矣?？记白⒁獗３殖渥愕乃撸F(xiàn)在很多同學(xué)在期末考試前點燈熬夜，晚上不注意休息，考試沒有精神，甚至睡著了，導(dǎo)致很容易的題目也沒有時間做了； 還有不容忽視的一點就是， 在考試的過程中，要注意卷面干凈、書寫整潔，還要有清晰的解題思路和完整的答題步驟，對于沒有思路的題可以先放放以免耽誤答題 時間， 否則會影響自己的卷面得分。最后，希望大家 保持一個健康的身體和良好的心態(tài)，做好期末復(fù)習(xí)，祝大家取得好成績！提前祝大家元旦快樂！ 第一章 函數(shù)與極限 第一節(jié) 函數(shù) 167。 函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖 區(qū)間 定義域 不等式 定義 集合 對應(yīng)法則 表格法 表達方法 圖象法 初等函數(shù) 解析法 非初等函數(shù) 單調(diào)性 函數(shù)的特性 奇偶性 函數(shù) 周期性 有界性 定義 反函數(shù) 重要的函數(shù) 存在性定理 復(fù)合函數(shù) 符號函數(shù)：??????????.0,1,0,0,0,1sgnxxxx 幾個具體重要的函數(shù) 取整函數(shù)： ? ? ][xxf ? ，其中 [x]表示不超過 x 的最大整數(shù) . 狄里克雷函數(shù)： ? ????? .,0 ,1 為無理數(shù)為有理數(shù)xxxD 167。 內(nèi)容提要與釋疑解難 一、函數(shù)的概念 定義 :設(shè) A、 B 是兩個非空實數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)法則 f，使得對 A 中任何一個實數(shù) x，在 B 中都有唯一確定的實數(shù) y 與 x 對應(yīng)，則稱對應(yīng)法則 f是 A 上的函數(shù)，記為 BAfyxf ?? :: 或 . y 稱為 x 對應(yīng)的函數(shù)值，記為 ? ? Axxfy ?? , . 其中 x叫做自變量， y又叫因變量， A稱為函數(shù) f的定義域，記為 D（ f）， ? ?AxxfAf ??? )()( , 稱 為 函 數(shù) 的 值 域 ， 記 為 R （ f ）， 在 平 面 坐 標(biāo) 系 Oxy 下，集合 ? ?Dxxfyyx ?? ),(),( 稱為函數(shù) y=f(x)的 圖形。函數(shù)是微積分中最重要最基本的一個概念，因為微積分是以函數(shù)為研究對象，運用無窮小及無窮大過程分析處理問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。 由確定函數(shù)的因素是定義域、對應(yīng)法則及值域，而值域被定義域和對應(yīng)法則完全確定，故確定函數(shù)的兩要素為定義域和對應(yīng)法則。從而在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，只要看這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否相同，至于自變量、因變量用什么字母，函數(shù)用什么記號都是無關(guān)緊要的。 函數(shù)與函數(shù)表達式的區(qū)別：函數(shù)表達式指的是解析式子，是表示函數(shù)的主要形式，而函數(shù)除了用表達式來表示，還可以用 表格法、圖象法等形式來表示，不要把函數(shù)與函數(shù)表達式等同起來。 二、反函數(shù) 定義 設(shè) y=f(x)， Dx? ，若對 R(f)中每一個 y，都有唯一確定且滿足 y=f(x)的 Dx? 與之對應(yīng)，則按此對應(yīng)法則就能得到一個定義在 R（ f）上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為 f 的反函數(shù)，記作 ? ? ? ? ? ?fRyyfxDfRf ??? ?? ,: 11 或. 由于習(xí)慣上用 x表示自變量， y表示因變量，所以常把上述函數(shù)改寫成 ? ? ? ?fRxxfy ?? ? ,1 . 由函數(shù)、反函數(shù)的定義可知，反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，值域是原來函數(shù)的定義域。 函數(shù) y=f(x)與 x=f1(y)的圖象相同，這因為滿足 y=f(x)點（ x,y）的集合與滿足 x=f1(y)點 (x,y)的集合完全相同，而函數(shù) y=f(x)與 y=f1(x)圖象關(guān)于直線 y=x對稱。 若 y=f(x)的反函數(shù)是 x=f1(y)，則 ? ? ? ?? ?.,)( 11 xffxyffy ?? ?? 定理 1（反函數(shù)存在定理）嚴(yán)格增（減）的函 數(shù)必有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)。 三、復(fù)合函數(shù) 定義 設(shè) ? ? ? ? DxxuEuufy ???? , ?，若 ? ? ?? ?? RfD )( ，則 y 通過 u 構(gòu)成 x 的函數(shù)，稱為由 y=f(u)與 ? ?xu ?? 復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱為復(fù)合函數(shù)，記作 ))(( xfy ?? 。 復(fù)合函數(shù)的定義域為 ? ?ExDxx ?? )(?且 ，其中 x 稱為自變量， y 稱為因變量， u 稱為中間變量，??x? 稱為內(nèi)函數(shù)， f(u)稱為外函數(shù)。 在實際判斷兩個函數(shù) ? ?xuufy ??? ),( 能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，只要看 ? ?)( xfy ?? 的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，否則不能復(fù)合函數(shù)。 在求復(fù)合函數(shù)時，只要指出誰是內(nèi)函數(shù)，誰是外函數(shù)，例如 y=f(x), y=g(x),若 y=f(x)作為外函數(shù)， y=g(x)作為內(nèi)函數(shù)。則復(fù)合函數(shù) ? ?)( xgfy? ，若 ? ?xgy? 作為外函數(shù)， ? ?xfy? 作為內(nèi)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為 y=g(f(x))。 我們要學(xué)會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，既要會把幾個函數(shù)復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)，又要會把一個復(fù)合函數(shù)分拆成幾個函數(shù)的復(fù)合。 四 初等函數(shù) 常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 大家一定要記住基本初等函數(shù)的定義域，值域，會畫它們的圖象，并且要知道這些函數(shù)在哪些區(qū)間遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經(jīng)過原點？與坐標(biāo)軸的交點是什么？以后我們常常要用到。 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復(fù)合運算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱 為初等函數(shù)。 不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。 一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如 ? ???? ???? 0, 0,xx xxxf 2xx??，是由 2, xuuy ?? 復(fù)合而成。 五 具有某些特性的函數(shù) 1．奇（偶）函數(shù) 定義 設(shè) D 是關(guān)于原點對稱的數(shù)集， y=f(x)為定義 在 D 上 的函數(shù)，若對 每一個? ?DxDx ??? 也有這時 ，都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xfxfxfxf ????? ，則稱 y=f(x)為 D 上的奇（偶）函數(shù)。 （ 1）定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。 （ 2）若 f(x)為奇函數(shù)，則 f(0)=0，事實上，由定義知 f(0)=f(0)，有 f(0)=f(0)，得 f(0)=0. 2．周期函數(shù) 定義 設(shè) y=f(x)為定義在 D 上的函數(shù)，若存在某個非零常數(shù) T，使得對一切 Dx?