材料力學(xué)第五章粱彎曲時(shí)的位移(已修改)
2025-02-02 15:37 本頁(yè)面
【正文】 材 料 力 學(xué) 第 1頁(yè) / 共 63頁(yè) 第五章 梁彎曲時(shí)的位移 167。 51 梁的位移 —— 撓度和轉(zhuǎn)角 167。 52 梁的撓曲線近似微分方程及其積分 167。 53 按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 167。 54 梁的剛度校核 提高梁的剛度的措施 材 料 力 學(xué) 第 2頁(yè) / 共 63頁(yè) 167。 51 梁的位移 —— 撓度和轉(zhuǎn)角 直梁在對(duì)稱平面 xy內(nèi) 彎曲時(shí)其原來(lái)的軸線 AB將彎曲成平面曲線 AC1B。梁的橫截面形心 (即軸線 AB上的點(diǎn) )在垂直于 x軸方向的線位移 w稱為 撓度 ，橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移 q 稱為 橫截面的轉(zhuǎn)角 。 第五章 梁彎曲時(shí)的位移 材 料 力 學(xué) 第 3頁(yè) / 共 63頁(yè) 彎曲后梁的軸線 —— 撓曲線 為一平坦而光滑的曲線，它可以表達(dá)為 w=f(x)， 此式稱為撓曲線方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故 橫截面的轉(zhuǎn)角 q 也就是撓曲線在該相應(yīng)點(diǎn)的切線與 x軸之間的夾角 ，從而有轉(zhuǎn)角方程： ? ?xfw ????? qq t a n第五章 梁彎曲時(shí)的位移 材 料 力 學(xué) 第 4頁(yè) / 共 63頁(yè) 直梁彎曲時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個(gè)位移不但與梁的彎曲變形程度 (撓曲線曲率的大小 )有關(guān)，也與支座約束的條件有關(guān)。圖 a和圖 b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩 Me也相等，顯然它們的變形程度 (也就是撓曲線的曲率大小 )相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。 第五章 梁彎曲時(shí)的位移 (a) (b) 材 料 力 學(xué) 第 5頁(yè) / 共 63頁(yè) 在圖示坐標(biāo)系中 ， 撓度 w向下為正 ， 向上為負(fù) ； 順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角 q為正 ， 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角 q為負(fù) 。 第五章 梁彎曲時(shí)的位移 材 料 力 學(xué) 第 6頁(yè) / 共 63頁(yè) 167。 52 梁的撓曲線近似微分方程及其積分 Ⅰ . 撓曲線近似微分方程的導(dǎo)出 在167。 44中曾得到等直梁在線彈性范圍內(nèi) 純彎曲 情況下中性層的曲率為 這也是位于中性層內(nèi)的撓曲線的曲率的表達(dá)式。 EIM????1第五章 梁彎曲時(shí)的位移 材 料 力 學(xué) 第 7頁(yè) / 共 63頁(yè) 在 橫力彎曲 下，梁的橫截面上除彎矩 M=M(x)外，還有剪力 FS=FS(x)， 剪力產(chǎn)生的剪切變形對(duì)梁的變形也會(huì)產(chǎn)生影響。但工程上常用的梁其跨長(zhǎng) l 往往大于橫截面高度 h的 10倍，此時(shí)剪力 FS對(duì)梁的變形的影響可略去不計(jì)，而有 ? ?? ?? ?EIxMxx ????1第五章 梁彎曲時(shí)的位移 材 料 力 學(xué) 第 8頁(yè) / 共 63頁(yè) 從幾何方面來(lái)看，平面曲線的曲率可寫(xiě)作 (參見(jiàn) 《 高等數(shù)學(xué)上冊(cè) 》 ，同濟(jì)大學(xué)， P212） ? ? ? ? 2/3211wwx ???????式中，等號(hào)右邊有正負(fù)號(hào)是因?yàn)榍?1/?為度量平面曲線(撓曲線 )彎曲變形程度的非負(fù)值的量，而 w是 q = w39。 沿 x方向的變化率，是有正負(fù)的。 第五章 梁彎曲時(shí)的位移 材 料 力 學(xué) 第 9頁(yè) / 共 63頁(yè) 第五章 梁彎曲時(shí)的位移 再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值 w ，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的 w ，故從上列兩式應(yīng)有 由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的 w?2與 1相比可略去，于是得 撓曲線近似微分方程 ? ?? ?EIxMww ??????2/321? ?EIxMw ???? 材 料 力 學(xué) 第 10頁(yè) / 共 63頁(yè) Ⅱ. 撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件 求等直梁的撓曲線方程時(shí)可將上式改寫(xiě)為 后進(jìn)行積分，再利用 邊界條件 確定積分常數(shù)。 ? ?xMwEI ????第五章 梁彎曲時(shí)的位移 ? ?EIxMw ???? 材 料 力 學(xué) 第 11頁(yè) / 共 63頁(yè) 當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個(gè)彎矩方程表示時(shí) (例如圖中所示情況 )有 ? ? 1d CxxMwEI ???? ?第五章 梁彎曲時(shí)的位移 ? ?? ? 21dd CxCxxxME I w ???? ? ? 以上兩式中的積分常數(shù) C1，C2由 邊界條件 確定后即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。 材 料 力 學(xué) 第 12頁(yè) / 共 63頁(yè) 邊界條件 (這里也就是支座處的約束條件 )的示例如下圖所示。
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