【正文】 習(xí)題課件 線性代數(shù) —— 向量組線性相關(guān)性習(xí)題講解 習(xí)題課件 第四章 向量組的線性相關(guān)性 一、要點(diǎn)復(fù)習(xí) 二、作業(yè)講解 三、典型例題介紹 習(xí)題課件 一、要點(diǎn)復(fù)習(xí) 一個(gè)向量可由一組向量線性表示 一組向量可由另一組向量線性表示 兩組向量可相互線性表示（等價(jià)） 向量組的線性相關(guān)性 線性相關(guān) 線性無(wú)關(guān) 線性表示 習(xí)題課件 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 向量組的秩 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 基礎(chǔ)解系 利用基礎(chǔ)解系表示線性方程組的通解 線性方程組的解的各種情形的判斷 齊次線性方程組 非齊次線性方程組 習(xí)題課件 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?。，負(fù)向量，。或記為維向量組成的有序數(shù)組稱(chēng)為個(gè)數(shù)：由nnnnnnnnnnnkakakakbababaaaabababakbbbaaaaaaaaanaaan,,,,,,,2122112122112121212121???????????????????????????????????????????????αβ)(αβααβαRβααα定義習(xí)題課件 這兩個(gè)向量組等價(jià)?？上嗷ゾ€性表示，則稱(chēng)與向量組若向量組線性表示?？捎上蛄拷M線性表示，則稱(chēng)向量組組中每個(gè)向量都可由向量，若：，：維向量組設(shè)線性表示?？捎上蛄拷M則稱(chēng)向量，使，如果存在一組數(shù)維向量設(shè)BAABABBAnkkkkkknsst21s21s21s21s21βββααααααβαααβαααβ,,,,2121??????定義：定義：????? ? ? ?? ?式。的線性方程組求出表示個(gè)相應(yīng)線性表示。同時(shí)可用一可由向量組），則（）（）若（線性表示。不可由向量組），則（）（）若（，化為，用將向量的秩是否相等。與矩陣矩陣線性表示的方法：可否由向量組判斷向量s21s21s21s21s21s21αααβRRαααβRRβαααβαααααααααβ,2,1,,,,??????BABABA????行階梯形初等行變換按列組成矩陣習(xí)題課件 、線性無(wú)關(guān) 才能使得上式成立）。線性無(wú)關(guān)（即只有否則，稱(chēng)向量組線性相關(guān)；則稱(chēng)向量組，使零的數(shù)，如果存在一組不全為維向量組對(duì)于0,,,212121????????ssskkkkkkkkkn??????s21s21s21s21αααααα0αααααα定義：線性相關(guān)性的方法：維向量組判斷 s21 ααα , ?n? ?? ?線性無(wú)關(guān)。，則向量組）若（線性相關(guān)。，則向量組）若（的秩求出。秩與向量個(gè)數(shù)比較矩陣、s21s21s21s21αααααααααααα,2,1,,1????srsrrsA???習(xí)題課件 ? ?）線性無(wú)關(guān)。（此時(shí)，則向量組）若（）線性相關(guān)。（此時(shí)，則向量組）若（的行列式進(jìn)行判斷，是方陣，可用時(shí)，矩陣、當(dāng)sAAsAAAAns??????)(,02)(,01,2RαααRααααααs21s21s21???）線性相關(guān)。（此時(shí)時(shí)，向量組、當(dāng) snAns ??? )(,3 Rααα s21 ?線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)，則向量組反之，若向量組線性相關(guān)；線性相關(guān)，則向量組若向量組表示，且表示式唯一。向量組可由線性相關(guān)，則向量線性無(wú)關(guān)，而向量組設(shè)向量組其余向量線性表示。個(gè)可由是：向量組中至少有一）線性相關(guān)的充要條件（向量組s21t1ss21t1ss21s21s21s21s21s21αααααααααααααααααααββααααααααα,,,,,,,2,?????????????定理：定理：定理： s習(xí)題課件 秩。等價(jià)的向量組有相同的為向量組的秩。組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)向量組的極大線性無(wú)關(guān)。的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為向量組則稱(chēng)該部分組表示，中的任一向量都可由）向量組（線性無(wú)關(guān)；）（滿(mǎn)足的部分組若向量組性質(zhì)：定義：定義：AAAs21s21s21s21αααααααααααα,,2,1,????習(xí)題課件 的行向量組的秩。于的列向量組的秩，也等的秩等于矩陣 AAA定理：線性無(wú)關(guān)組。組的秩，求出一個(gè)極大）非零行的個(gè)數(shù)為向量（化為行階梯形；）用初等行變換將（；陣）將各向量按列組成矩（關(guān)組：的秩和一個(gè)極大線性無(wú)求向量組321,AAs21 ααα ?習(xí)題課件 為任意常數(shù)。，其中注：通解可表示為組成。個(gè)向量有非零解，基礎(chǔ)解系由，則）若（只有零解；，則）若（，的秩的系數(shù)矩陣元齊次線性方程組如果的一組基礎(chǔ)解系。是則稱(chēng)表示，線性的任一解都可由）（線性無(wú)關(guān)，）（的一組解向量，且滿(mǎn)足是設(shè)。的解，是的解，則是若的解。是的解，則是若齊次線性方程組rnrnkkkkkkrnnrnrrnrkk???????????????????????,,21)(,,2,1,2121???????rn21rn21s21s21s21s212121ξξξxξξξ0Ax0AxARA0Ax0Axξξξξξξ0Axξξξ0AxξξξR0Axξ0Axξ0Axξξ0Axξξ0Ax定理：定義：性質(zhì)：性質(zhì)：習(xí)題課件 為任意常數(shù)。其中，的通解可表示為的一組基礎(chǔ)解系，則的導(dǎo)出組是的一個(gè)特解，是非齊次線性方程組設(shè)的解。是的解，則是的解，是若的解。是的解，則是若的導(dǎo)出組或?qū)?yīng)的齊次線性方程組稱(chēng)為與非齊次線性方程組rnrnkkkkkk?????????????????????,,2121???rn21rn212121ξξξηxbAx0AxbAxξξξbAxηbAxξη0AxξbAxη0AxηηbAxη,ηbAxbAx0AxbAx定理：性質(zhì)：性質(zhì)：習(xí)題課件 二、作業(yè)講解 2. ，TT )57,54,1()7,4,5(51)]23()(2[51 ?????? βαβαα。TT )513,56,1()13,6,5(51)](3)23[(51 ??????????? βαβαβ，T)4,3,2,1(?α ,)3,0,2,1( T??β 及求 βα ? 32 ?解 ,)7,3,4,0( T?? βα。TTT )1,6,2,5()9,0,6,3()8,6,4,2(32 ??????? βαβαβαβα ,)1,0,1(23)4,2,2( ，求向量，設(shè) TT ?????解 習(xí)題課件 .91411910051103011611151103011)2(321 αααβ ???????????????????????????????所以，解 （ 1） β 表示為其他向量的線性組合： .2