20xx重修高數(3)微分中值定理(已修改)
2025-01-31 09:14 本頁面
【正文】 前頁 結束 后頁 中值定理 洛必達法則 導數的應用 結束 第 3章 中值定理及導數應用 前頁 結束 后頁 定理 1 設函數 滿足下列條件 )(xf)()( bfaf ?(3) (1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)； ],[ ba(2) 在開區(qū)間 內可導 。 ),( ba則在 (a,b)內至少存在一點 ， ?? 羅爾定理 a b 使得 0)( ?? ?f前頁 結束 后頁 ?幾何解釋如圖 A Ba b在直角坐標系 Oxy中 曲線 兩端點的連線 平行于 軸 ,其斜率為零 x()y f x?AB故在曲線弧上定有一點 使曲線在該點的切線平行于弦 ，即平行于 軸。 AB( , ( ) )Mf??x 0()f ?? ?O xy即 前頁 結束 后頁 則在區(qū)間 內至少存在 ( , )ab(1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)； ],[ ba (2) 在開區(qū)間 內可導； ),( ba定理 2 設函數 滿足下列條件 ()fx)(xfy ?MABba ?T( ) ( )() f b f afba??? ??一點 ， ? 使得 拉格朗日中值定理 前頁 結束 后頁 曲線 處處有不垂直于 軸的切線 如圖 在直角坐標系 Oxy ()y f x?x端點連線 AB的斜率為 ( ) ( )f b f aba??所以定理實際是說存在點 ，使曲線在該點的切線 T平行于弦 AB。 ?()y f x?MABba ?To xy( ) ( )() f b f afba??? ??即 前頁 結束 后頁 例 1：不用求出函數 f x x x x x? ? ? ?1 2 3( ) ( ) ( ) ( )的導數，說明 fx? ? 0()解：因 0 1 2 3 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( )f f f f f x? ? ? ?在 0 1 1 2 2 3[ , ] , [ , ] , [ , ]上均滿足羅爾定理的條件， 則在 0 1 1 2 2 3, , , , ,（ ） （ ） （ ）上分別存在點 1 2 3? ? ?， ， ，使得 f f f? ? ?? ? ????1 2 3 0( ) ( ) ( ) ,即至少有 1 2 3? ? ?， ， 為 0()fx? ?的根。 又 ()fx? 為三次多 項式，故 0()fx? ? 1? ? (0,1)，即為 0()fx? ? 2323 ( , )????(1 ,2 )，有幾個根，并指出各根 所在的區(qū)間。 至多有三個根 . 所以 的三個根 . 前頁 結束 后頁 ??例 2 驗證 函數 上滿足拉格朗日定理條件，并求 的值。 ? ?( ) l n 1 2f x x? 在，?.)(,)(上是一個常數在區(qū)間那末上的導數恒為零在區(qū)間如果函數IxfIxf推論 前頁 結束 后頁 如果在某極限過程下 ,函數 f ( x)與 g(x)同時趨于零或者同時趨于無窮大，通常把 的極限稱為未定式的極限，洛必達法則就是解決這類極限的工具。 一般分為三種類型討論： )()(xgxf 洛必達法則 001． 型不定式 ??2． 型不定式． 3．其它型不定式 前頁 結束 后頁 1． 型不定式． 00的某空心鄰域內有定義，且滿足如下條件 ( 1 ) lim ( ) lim ( ) 0x a x af x g x?? ??( 2 ) ( )fx?與 ()gx? 在該鄰域內都存在，且 ( ) 0gx? ?()( 3 ) lim ( )()xafx Agx?? ??? 有 限 或則 ( ) ( )lim lim( ) ( )x a x af x f xg x g x?????定理 2 設函數 ()fx ()gx xa?與 在點 前頁 結束 后頁 （ 為任意實數）
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