【正文】 第 9章 位移法 ● 本章教學(xué) 基本要求 ： 掌握位移法的基本原理和方法；熟練掌握用典型方程法計(jì)算超靜定剛架在荷載作用下的內(nèi)力；會(huì)用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)和溫度變化時(shí)的內(nèi)力；掌握用直接平衡法計(jì)算超靜定剛架的內(nèi)力 ● 本章教學(xué)內(nèi)容的 重點(diǎn) ：位移法的 基本未知量 ；桿件的轉(zhuǎn)角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用 典型方程 法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力。 ● 本章教學(xué)內(nèi)容的 難點(diǎn) ：對(duì)位移法方程的物理意義以及方程中系數(shù)和自由項(xiàng)的物理意義的正確理解和確定。 ● 本章內(nèi)容簡(jiǎn)介 : 位移法的基本概念 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程 位移法的基本未知量 位移法的基本結(jié)構(gòu)及位移法方程 用 典型方程法 計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)和溫度變化 時(shí)的內(nèi)力 用直接平衡法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 * 混合法 位移法基本概念 力法和位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法。 力法于十九世紀(jì)末開始應(yīng)用，位移法建于上世紀(jì)初。 結(jié)構(gòu)： 外因 → 內(nèi)力 ~位移 ——恒具有一定關(guān)系 力 法 ——以 多余未知力為基本未知量 ，由 位移條件 建 立力法方程，求出 內(nèi)力 后再計(jì)算 位移 。 位移法 ——以某些 結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量 ，由 平衡條件 建立位移法方程，求出 位移 后再計(jì)算 內(nèi)力 。 一、 解決超靜定問題的 兩種基本方法的對(duì)比 力法 適用性廣泛，解題靈活性較大 （可選用各種各樣的基本結(jié)構(gòu)）。 位移法 在解題上比較規(guī)范，具有通用性， 因而計(jì)算機(jī)易于實(shí)現(xiàn)。 位移法可分為：手算 ——位移法 電算 ——矩陣位移法 2. 基本未知量不同 ， 這是力法與位移法最基本的區(qū)別。 力 法：以 多余未知力為 基本未知量 位移法：以 結(jié)點(diǎn)位移為 基本未知量 力 法 ： 超靜定結(jié)構(gòu) 位移法 ： 超靜定結(jié)構(gòu)，也可用于靜定結(jié)構(gòu)。 一般用于結(jié)點(diǎn)少而桿件較多的剛架。 例： 二、用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的思路 例如：用位移法求解如圖所示的剛架。 ，作如下計(jì)算假定： 1）在受彎桿件中，略去桿件的軸向 變形和剪切變形的影響。 2）假定受彎桿兩端之間的距離 保持不變。 由此可知，結(jié)點(diǎn) 1只有轉(zhuǎn)角 Z1，而無線位移。因節(jié)點(diǎn) 1為剛節(jié)點(diǎn)，匯交于結(jié)點(diǎn) 1的兩桿桿端也應(yīng)有同樣的轉(zhuǎn)角 Z1。 忽略軸向變形 ＝ ＋ 這兩個(gè)結(jié)構(gòu)都可以用力法求解 （ 1）用力法算出單跨超靜定梁在桿端發(fā)生各種位移時(shí)及荷載等因素作用下的內(nèi)力 （ 2）確定以上結(jié)構(gòu)的哪些位移作為 基本未知量 （ 3）如何求出這些位移 ? A B C P θA θA 荷載效應(yīng)包括： 內(nèi)力效應(yīng) ： M、 Q、 N； 位移效應(yīng) ： θA A B C P θA θA 附加 剛臂 Step1： 附加剛臂限制結(jié)點(diǎn)位移，荷載作用下附加剛臂上產(chǎn)生 附加力矩。 Step2： 對(duì)結(jié)點(diǎn)施加產(chǎn)生相應(yīng)的角位移，以 實(shí)現(xiàn)結(jié)點(diǎn)位移狀態(tài)的一致性。產(chǎn)生相應(yīng)的附加約束反力。 A B C 實(shí)現(xiàn)位移狀態(tài)可分兩步完成 Step 3： 疊加兩步作用效應(yīng)，約束結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的荷載特征及位移特征完全一致，則其內(nèi)力狀態(tài)也完全相等； 由于原結(jié)構(gòu)沒有附加剛臂：因此附加約束上的 附加內(nèi)力應(yīng)等于 0， 按此可 列出求解結(jié)點(diǎn)位移的基本方程。 A B C P θA θA Step1：附加剛臂限制結(jié)點(diǎn)位移，荷載作用下附加剛臂上產(chǎn)生 附加力矩。 Step2：對(duì)結(jié)點(diǎn)施加產(chǎn)生相應(yīng)的角位移，以實(shí)現(xiàn)結(jié)點(diǎn)位移狀態(tài)的一致性 ， 產(chǎn)生相應(yīng)的 附加約束反力。 A B C 使結(jié)點(diǎn) 1正好轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)角 Z1時(shí)，使 所加的附加約束不再起作用，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ： R1=0 上式意義： 外荷載和實(shí)際應(yīng)有的轉(zhuǎn)角 Z1共同作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，附加約束反力矩為零（剛臂不起作用）。 根據(jù)疊加原理，共同作用等于單獨(dú)作用的疊加： R1＝ R11＋ R1P=0 （ a) R11為強(qiáng)制使結(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)角 Z1時(shí) 所產(chǎn)生的約束反力矩。 R1P為荷載作用下所產(chǎn)生的 約束反力矩。 R11=r11Z1 Z1=1 為單位位移 （ 轉(zhuǎn)角 Z1＝ 1） 產(chǎn)生的約束反力矩 。 上式的物理意義是， 基本結(jié)構(gòu)由于轉(zhuǎn)角 Z1和外荷載 FP共同作用，在附加剛臂 1處所產(chǎn)生的約束反力矩總和等于零（使 a,b兩圖疊加后附加剛臂不起作用）。 由此方程可得： 01111 ?? PRZr1111 rRZ P??可見，只要有了系數(shù) r11及自由項(xiàng) R1P， Z1值很容易求得。 為了將式 (a)寫成未知量 Z1的顯式，將 R11寫為： 式（ a）變?yōu)椋? 11111 ZrR ?11r為了確定上式中的 R1P 和 r11 ，可先 用力法分別求出各單跨超靜定梁 在梁端、柱頂 1處轉(zhuǎn)動(dòng) Z1=1時(shí)產(chǎn)生的彎矩圖及外荷載作用下產(chǎn)生的彎矩圖。 pl81求系數(shù)和自由項(xiàng) 1Mr11 Z1=1 lEIr 711 ?1）求 r11和 M1 P 1 A R1P P 8Pl8PlMP圖 2） 求 R1P 和 MP 現(xiàn)取 圖、 MP圖中的結(jié)點(diǎn) 1為隔離體，由力矩平衡方程 ，求出 ： 1M? ? 01MlEIr 711 ? PlR P 811 ??將這些結(jié)果代入位移法基本方程中解方程 ， 即得 EIPlZ5621 ?最后，根據(jù)疊加原理 ， 即可求出最后彎矩圖 。 11 ZMMM P ??，畫內(nèi)力圖 1. 在原結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移的結(jié)點(diǎn)上設(shè)置附加約束，使結(jié)點(diǎn)固定， 從而得到基本結(jié)構(gòu)，然后加上原有的外荷載； ２ . 人為地迫使原先被“固定”的結(jié)點(diǎn)恢復(fù)到結(jié)構(gòu)原有的位移。 通過上述兩個(gè)步驟，使基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的受力和變形完全相同，從而可以通過基本結(jié)構(gòu)來計(jì)算原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。 綜上所述，位移法的基本思路是： P M=R1P R11=r11Z1=R1P 固定節(jié)點(diǎn)使之不動(dòng) （ a） （ b） 釋放節(jié)點(diǎn)，使節(jié)點(diǎn)發(fā)生實(shí)際位移 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程 應(yīng)用位移法需要解決的首要問題就是，要確定 桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及荷載之間的函數(shù)關(guān)系 (桿件的轉(zhuǎn)角位移方程 )。 利用力法的計(jì)算結(jié)果，由疊加原理導(dǎo)出三種常用等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。 一、桿端內(nèi)力及桿端位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定 桿端內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定 桿端彎矩： 對(duì)桿端而言，以 順時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù) 。 對(duì)結(jié)點(diǎn)或支座而言，則以逆時(shí)針方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。 桿端剪力和桿端軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定，仍與前面規(guī)定相同。 A BABM M BAABEI , l弦轉(zhuǎn)角B39。A B桿端位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定 A BABM M BAABEI , l弦轉(zhuǎn)角B39。A B1） 桿端轉(zhuǎn)角 （角位移） :以順時(shí)針為正，反之為負(fù)。 2） 線位移 以桿的一端相對(duì)于另一端產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng) 的線位移為正，反之為負(fù)。例如，圖中 ΔAB為正。 二、單跨超靜定梁的形常數(shù)和載常數(shù) 位移法中，常用到圖示 三種基本的等截面單跨超靜定梁 ，它們?cè)诤奢d、支座移動(dòng)或溫度變化作用下的內(nèi)力可通過力法求得。 a) 兩端固定 b)一端固定 一端鉸支 c) 一端固定 一端定向支承 由荷載或溫度變化引起的桿端內(nèi)力稱為 載常數(shù) 。其中的 桿端彎矩 也常稱為 固端彎矩 ，用 和 表示；桿端剪力也常稱為固端剪力，用 和 表示。 常見荷載和溫度作用下的載常數(shù)列入 表 中 (書 P5) 。 FABMFBAMFABFQ FBAFQ由桿端 單位位移 引起的桿端內(nèi)力稱為 形常數(shù) ，見書 P279， 77式。表中引入記號(hào) i=EI/l，稱為桿件的 線剛度 。 a) 兩端固定 b)一端固定 一端鉸支 c) 一端固定 一端定向支承 三、轉(zhuǎn)角位移方程 兩端固定梁 由疊加原理可得： FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM??????????642624????BA Q F AB Q F AB M M BA B A B q A B P F EI = / l A l M B 1 A?B?AB?P + + + t1 t2 Ai?4Bi?2li AB /6 ?Ai?2Bi?4li AB /6 ?FABM FBAM固端彎矩 一端固定另一端鉸支梁 A MAqF PBAM ABF Q ABlF Q BAEIB( 非獨(dú)立角位移 )1B033?????BAFABAABMMliiM ?一端固定另一端定向支承梁 ABMlAAM q PFAEIABQFB(非獨(dú)立線位移)BB 1FBABABAFABBAABMiiMMiiM???????????1）兩端固定梁 2）一端固定另一端鉸支梁 3）一端固定另一端定向支承梁 應(yīng)用以上三組轉(zhuǎn)角位移方程，即可求出三種基本的單跨超靜定梁的 桿端彎矩表達(dá)式 ，匯總?cè)缦拢? FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM??????????642624????033?????BAFABAABMMliiM ?FBABABAFABBAABMiiMMiiM???????????用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu) 例：試用 位移法 直接平衡法 計(jì)算圖示連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，并繪出彎矩圖。 解： 1)基本未知量為剛結(jié)點(diǎn) B點(diǎn)的角位移 Z1，基本體系如圖（ B）所示。 2)用轉(zhuǎn)角位移方程寫出個(gè)桿端內(nèi)力如下（其中 ） 3)從原結(jié)構(gòu)中取出圖 c隔離體，由平衡條件建立方程并求解。 由圖 c的平衡條件： 得： 4)回代入 2）得各桿端彎矩，并繪最后彎矩圖。 位移法的基本未知量 一、位移法的基本未知量 據(jù)位移法思路：先鎖住節(jié)點(diǎn)不動(dòng)（角位移或線位移），再放松節(jié)點(diǎn)使之發(fā)生實(shí)際位移，最后疊加。 所以，位 移法選取 結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立位移（獨(dú)立角位移和