【正文】 第八章 生物醫(yī)學(xué)信號時域數(shù)字濾波中的一些問題 （ Some Problems in Time Domain Digital Filtering for Biomedical Signal） 前一章討論了維納濾波和卡爾曼濾波的理論和應(yīng)用。維納濾波和卡爾曼濾波理論都要求信號與噪聲獨(dú)立，噪聲還必須為均值為 0方差為 1的高斯白噪聲。而維納濾波還需要知道信號和噪聲的自相關(guān)函數(shù)。 ? 在生物醫(yī)學(xué)信號處理中，這樣的要求是非?？量痰?，一般是不能達(dá)到完全滿足的。在生物醫(yī)學(xué)信號處理中，干擾信號還主要不是白噪聲，也不能滿足獨(dú)立性要求。如第五章已經(jīng)指出的心電信號檢測中的呼吸干擾，胃電信號檢測中的心電干擾，誘發(fā)電位測量中的自發(fā)腦電干擾，等等。而且這些干擾都不滿足均值為 0方差為 1的高斯白噪的條件。進(jìn)一步說，它們只能是對欲測量的目標(biāo)信號的干擾，而不是噪聲。它們都是生物醫(yī)學(xué)信號處理中要得到的一些確定性信號。這些就是生物醫(yī)學(xué)信號處理中的一些特殊問題。本章首先介紹 干擾和噪聲 的基本概念， 然后介紹處理這些問題的 加權(quán)平均濾波 ； 周期平均濾波 ； 迭加平均濾波 ；同態(tài)信號濾波；自適應(yīng)濾波等技術(shù)。應(yīng)當(dāng)注意的是，這些濾波方法并不都是普適的，有的只適用于特定的場合，如周期平均濾波（是一種鎖相平均技術(shù)），只適用于如心血管系統(tǒng)信號，如心電、心音、血壓、脈搏、阻抗等形式的、特定波形形態(tài)具有準(zhǔn)周期重復(fù)性的信號，而迭加平均濾波（是一種鎖時平均技術(shù)）和自適應(yīng)濾波技術(shù)則適用于檢出如各種誘發(fā)電位這樣性質(zhì)的信號。 第一節(jié) 噪聲和干擾 （ Noise and Interference） ? 噪聲和干擾是描述兩個既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個不同概念。具體對于信號處理來說，非目標(biāo)信號都可統(tǒng)稱為干擾，不管它們是確定的還是隨機(jī)的還是模糊的。而噪聲則常常是與隨機(jī)信號相聯(lián)系的。一般而論，噪聲不可能是目標(biāo)信號。就是說，一般情況下相對于目標(biāo)信號來說，噪聲總是干擾。因而干擾是一個范疇更大的概念。 ? 在對本來是確定性的客觀量的測量過程中，除了設(shè)備本身的原因外，隨機(jī)性往往是由觀測者本身引入的。一般情況下，這種隨機(jī)性的影響往往是比較小的，并且可用多次測量的平均來逼近真值。 ? 在這個意義上來說，隨機(jī)性是普遍存在的。平均技術(shù)的目的就是在于消除隨機(jī)性，突出確定性。就生物醫(yī)學(xué)信號而言，本身主要是確定的，隨機(jī)性主要是由于環(huán)境和測量過程的影響的結(jié)果。生物醫(yī)學(xué)信號處理的目的，也就是盡可能消除隨機(jī)性，突出確定性的特征。利用隨機(jī)性只是一種手段，并不意味著生物醫(yī)學(xué)信號本身就是隨機(jī)信號。生物醫(yī)學(xué)信號一般都有寬帶譜特征，這并不意味著隨機(jī)性，而是非線性特征的一種表現(xiàn)。 一 、 目標(biāo)信號 ? 目標(biāo)信號就是研究者希望獲得的信號，如心電信號、胃電信號、腦電信號、呼吸信號、溫度信號等。一般情況下目標(biāo)信號都是確定性信號。只有在特殊的情況下，才需要隨機(jī)信號（如電子器件產(chǎn)生的電子噪聲）。在信號處理技術(shù)中，常常要使用一種用一定的算法產(chǎn)生的偽隨機(jī)信號（ pseudorandom signal）。所謂“偽”就是貌似隨機(jī)實(shí)為“確定”的意思，因?yàn)樗怯梢欢ǖ姆蔷€性算法（公式）產(chǎn)生的。理論上講，確定信號是能由數(shù)學(xué)方程（包括代數(shù)的、微分的、積分的方程等）描述的信號。隨機(jī)信號是不能由數(shù)學(xué)方程準(zhǔn)確描述而只能由統(tǒng)計方法描述其統(tǒng)計特征的信號。 二、非目標(biāo)信號 干擾 ? 除了目標(biāo)信號以外的信號，統(tǒng)稱為非目標(biāo)信號（ nontarget signal），包括目標(biāo)信號以外的生物醫(yī)學(xué)信號和環(huán)境干擾信號。非目標(biāo)信號也可以統(tǒng)稱為干擾（ interference）。干擾可以是噪聲（ noise），也可以是確定性信號。后者包括非目標(biāo)信號的生物醫(yī)學(xué)信號，環(huán)境干擾中的確定性信號，如 50Hz工頻干擾。在一次信號采集中， 50Hz工頻干擾的頻率、幅度和初相位等參數(shù)都是確定的。因此，干擾是一個內(nèi)涵更廣的概念，不能把干擾和噪聲完全等同起來，混為一談。一般情況下，干擾是噪聲和確定性信號的混合信號 三、噪聲 隨機(jī)信號 ? 噪聲與隨機(jī)信號（ random signal）應(yīng)該是等效的概念。以后對于這兩個概念不加區(qū)別。有時也有隨機(jī)噪聲的說法，這時理解“隨機(jī)”二字為強(qiáng)調(diào)的意思。與隨機(jī)信號的概念有關(guān)的還有偽隨機(jī)信號。前面已經(jīng)說過“偽”就是“假”的意思，假隨機(jī)真確定，實(shí)為一非線性信號。 1．單純隨機(jī)信號（ pure random signal） ? x m (n)，根據(jù)各態(tài)遍歷假說，所有序列的各對應(yīng)點(diǎn)的均值為 0（即和為 0）： (1) 單純隨機(jī)信號的均值為 0（即和為 0） 設(shè) x(n)為單純隨機(jī)信號，則有 Σx（ n） = 0 n = 0， 1， 2， … ， N， N → ∞ （ 81） 如果有 M個單純隨機(jī)信號序列 x m (n)，根據(jù)各態(tài) 遍歷假說，所有序列的各對應(yīng)點(diǎn)的均值為 0 （即和為 0）： Σxm (n) = 0 m = 0， 1， 2， … ， M， M → ∞ （ 82） 或 Σxm(n)/M = 0 m = 0， 1， 2， … ， M， M → ∞ （ 83） 上兩式就是迭加平均去噪的理論基礎(chǔ)。值得指出的是， 只有單純隨機(jī)信號才能滿足上兩式的要求 。 (2) 單純隨機(jī)信號的獨(dú)立性 不同的單純隨機(jī)信號是相互獨(dú)立的。設(shè) x m (n)與 x n (n) 是任意兩單純隨機(jī)信號，獨(dú)立性表示為互相關(guān)（函數(shù)） 為 0： x m (n)x n (n) = 0 (84) 這是單純隨機(jī)信號的一個很重要和很有用的性質(zhì)。在晚 電位提取的相關(guān)平均濾波中就要用到這個性質(zhì)。這個性 質(zhì)表明， 討論單純隨機(jī)噪聲的相關(guān)性是沒有意義的 。 (3) 單純隨機(jī)信號與確定性信號是相互獨(dú)立的 ? 單純隨機(jī)信號與確定性信號是相互獨(dú)立的。設(shè) s(n)是一確定性信號， x n (n)是單純隨機(jī)信號，獨(dú)立性表示為互相關(guān)（函數(shù)）為 0： s (n)x (n) = 0 (85) 上式是隨機(jī)信號與確定信號相互獨(dú)立或互不相關(guān)的描述，即單純隨機(jī)信號 x (n)與確定性信號 s (n)的互相關(guān)函數(shù) s (n)x (n)為 0。這也是單純隨機(jī)信號的一個很重要和很有用的性質(zhì)。這個性質(zhì)表明， 討論單純隨機(jī)噪聲與確定性信號的相關(guān)性是沒有意義的 。 2．一般隨機(jī)信號 確定信號與隨機(jī)信號的混合信號稱為一般隨機(jī)信號， 簡稱隨機(jī)信號。設(shè) s(n)為一確定性信號， x(n)為單純 隨機(jī)信號，則一般隨機(jī)信號 v (n)可表示為 v(n) = s (n) +x (n) (86) 對于一般隨機(jī)信號 v(n)的性質(zhì)敘述如下。 設(shè) v(n)為（ 86）式所示的一般隨機(jī)信號，則 Σv(n)/M =Σs(n)/M m = 0， 1， 2， … ， M,M → ∞ （ 87） 上式可由引用（ 83）式證明。這就是說， 對于一般 意義的噪聲（干擾或非目標(biāo)信號）而言， 迭加平均的結(jié)果為一非 0值，該值是其中的確定性成 分的迭加平均的結(jié)果 。只有單純隨機(jī)噪聲，才能用迭 加平均的技術(shù)去除之。現(xiàn)有的誘發(fā)電位提取技術(shù)用的 是疊加平均技術(shù)。但仔細(xì)分析誘發(fā)電位的背景干擾信 號，是自發(fā)腦電和 50Hz工頻干擾及環(huán)境噪聲等的混合 信號，其中的自發(fā)腦電和 50Hz工頻干擾都不完全符合 單純隨機(jī)信號的要求，因此，疊加平均的結(jié)果應(yīng)是 （ 87）式的結(jié)果。 (2) 一般隨機(jī)信號與單純隨機(jī)信號是相互獨(dú)立的 ? 設(shè) v (n)與 xn (n)分別是一般隨機(jī)信號和單純隨機(jī)信號，并設(shè) v (n)= v(n) = s (n) +x (n) 則有 v (n)xn (n) = s (n)x n (n) + x (n)xn (n)= 0 (88) 因?yàn)橛桑?84）與（ 85）式可知，上式中的 s (n)x n (n)與 x (n)x n (n)為 0。 (3) 一般隨機(jī)信號的互相關(guān)等于所含確定性成分的互相關(guān) ? 設(shè) v m (n)與 v n (n)分別是兩個一般隨機(jī)信號，并有 vm (n)= sm(n) +xm(n) vn (n)= sn(n) +xn(n) 則有 v m (n)vn (n) = s m (n)s n (n) (89) 根據(jù)（ 88）式的結(jié)果，很容易證明上式是正確的。也可以證明以下關(guān)系是正確的： v m (n)s (n) = s (n)s (n) + x (n)s (n)= s (n)s (n) (810) 上式意味著可以用相關(guān)技術(shù)消除噪聲，提取被噪聲淹沒的確定性信號，因而這種技術(shù)也稱為相關(guān)提取。結(jié)果信號是與確定性信號 s (n)譜特征相同的信號 3．關(guān)于（單純）隨機(jī)信號的幾個概念問題 ? (1) 隨機(jī)取值信號（值隨機(jī)信號） 隨機(jī)取值信號是指信號的值可在（－ ∞，＋ ∞）范圍內(nèi) 隨機(jī)變化 的信號，表示為： x(n) = RD(n) （ 811a） 之中 RD(n)表示隨機(jī)取值信號。 RD是 random的縮寫，即“隨機(jī)”之意。一般而言的單純隨機(jī)信號即指隨機(jī)取值信號。但是在信號處理文獻(xiàn)中，還有下面一些關(guān)于借助信號的傅立葉觀點(diǎn)的隨機(jī)信號的概念：幅度隨機(jī)信號（隨機(jī)幅信號）、頻率隨機(jī)信號（隨機(jī)頻信號或白噪聲）、色噪聲、相位隨機(jī)信號（隨機(jī)相信號）。 (2) 幅度隨機(jī)信號 ? 幅度隨機(jī)信號是指信號的幅度可在（－ ∞，＋ ∞）范圍內(nèi) 隨機(jī)變化 的信號。按傅立葉觀點(diǎn)，一個信號的隨機(jī)性可以表現(xiàn)為幅、頻及初相（ initial phase）的隨機(jī)性。這里首先討論幅度隨機(jī)變化的信號。借用信號的傅立葉表示法，幅度隨機(jī)信號可以表示為： x(n) = RD(n)SIN[ωn +θ(n)] (811b) 式中， RD(A)是可以隨機(jī)取值的信號，而 SIN[ωn +θ(n)]是 ? 確定性信號。因而上式隱含這樣的意義：隨機(jī)信號與確定信號之積為隨機(jī)信號（見文獻(xiàn) [9]）。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，上兩式并不表示隨機(jī)信號可應(yīng)用數(shù)學(xué)公式準(zhǔn)確表示，只能理解為表示隨機(jī)信號的一個符號而已，下同。上式右端是一個非線性變換，會對信號的特性產(chǎn)生影響。的確，上式中 RD(n)在 [0，＋ ∞]區(qū)間變化時， x(n)都可在（－ ∞，＋ ∞）范圍內(nèi)隨機(jī)變化。 (3) 初相隨機(jī)信號 ? 初相隨機(jī)信號就是信號的初相可以隨機(jī)變化的信號?？梢宰C明初相隨機(jī)信號等效于兩幅度隨機(jī)的信號的合成。借用信號的傅立葉表示法，初相隨機(jī)信號 x(n)可以表示為： x(n) = ASIN[ωn + RD(θ)] (812) 式中， A和 ω是常規(guī)變量， RD(θ)表示隨機(jī)初相。隨機(jī)初相在（－ ∞，＋ ∞）范圍內(nèi)隨機(jī)取值，實(shí)際上等效于只能在 [0