【正文】 本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)特征值與特征向量的應(yīng)用作者姓名： 盧超男指導(dǎo)教師： 蘭文華所在學(xué)部： 信息工程學(xué)部專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)（屆）： 2022 屆 2 班二〇一三年四月二十六日目 錄摘要 .............................................................1緒論 .............................................................21 特征值和特征向量 ..............................................3 特征值與特征向量的概念 .....................................3 特征值與特征向量的性質(zhì) .....................................32 矩陣的特征值和特征向量的求法 ..................................4 具體的數(shù)字矩陣 .............................................4 抽象的矩陣 .................................................4 相似矩陣 ...................................................5 實(shí)對(duì)稱矩陣 .................................................63 特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用 .................................8 經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型 ............................8 萊斯利（Leslie）種群模型 ...............................11參考文獻(xiàn) ........................................................18英文摘要 ........................................................19摘要特征值與特征向量是高等代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)及實(shí)際生活，特質(zhì)，通過實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性與便捷性，探討特征值與特征向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值.正文共劃分為三個(gè)大部分，第一部分，是對(duì)特征值與特征向量概念、性質(zhì)的充分總結(jié)。這是為了更好的利用定義和性質(zhì)來解決相關(guān)的矩陣習(xí)題；第二部分，是具體的將矩陣分類，按照矩陣的類型與特征值和特征向量的性質(zhì)進(jìn)行匹配，具體的解決問題并有相關(guān)的例題。第三部分，是舉出特征值與特征向量在生活的具體事例，來展示他的應(yīng)用性。特征值與特征向量還有很廣泛的用途，本文只是對(duì)特征值與特征向量概念、性質(zhì)，在數(shù)學(xué)矩陣與生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡短的研究歸納。關(guān)鍵詞：特征值，特征向量，矩陣 2緒論在已有研究的基礎(chǔ)上，該文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加簡捷便利，征值與特征向量在不同類型矩陣中的應(yīng)用探究,闡述了特征值和特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，使問題更簡單，運(yùn)算上更方便，運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問題更加清楚，從而使高等代數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性得到了很大的展現(xiàn)。31 特征值和特征向量定義 1，設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間 Ｖ的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域 中的一數(shù)A? ? ，存在一個(gè)非零向量 ，使得0?? 0=?那么 稱為 的一個(gè)特征值，而 稱為 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量。0 ?A0?定義 2，設(shè) 是 n 階矩陣，若存在數(shù) 及非零的 n 維列向量 ，使得A?? ???成立，則稱 是矩陣 特征值，稱非零向量 是矩陣 屬于特征值 的特征向?量。 （注：特征向量是非零向量）行列式 稱為矩陣 的特征多項(xiàng)式。 稱為矩陣 的特征()f??A0???A?方程。1） 如果 都是特征值 所對(duì)應(yīng)的特征向量，則 的線性組合 12?， i?12?， 12ka?（非 0 時(shí)）仍是屬于 的特征向量。i（注：該性質(zhì)說明 的特征向量不是唯一的，但反過來，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)i特征值。 ）2） 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，并且當(dāng) 時(shí)矩陣 的 k 重特征值時(shí)，矩i?A陣 屬于 的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過 k 個(gè)。Ai?（注：因 A 只有 n 個(gè)特征值，故 A 的特征向量雖有無窮多個(gè)，但線性無關(guān)的至多有 n個(gè)，并且若 是矩陣 A 的不同特征值， 分別為 的特征向量，則 與12, 12,?12,?1? 的線性組合 不再是 A 的特征向量。 ）2?2ka?3）特征值的和等于矩陣主對(duì)角線上元素之和，特征值的乘積等于矩陣 A 行列式的值，即 11,nniii?????4）n 階矩陣 A 和他的轉(zhuǎn)置矩陣 有相同的特征值。?5）n 階矩陣 A 可逆的充分必要條件是，他的任一特征值均不等于零。46）若 是矩陣 A 的特征值，則對(duì)任何正整數(shù) k, 是 的特征值。? k?kA2 矩陣的特征值和特征向量的求法對(duì)于具體的數(shù)字矩陣的步驟如下：1）先有具體的特征方程 求出矩陣 A 的全部特征值 0???A? i?（i=1,2,3,、 、 、n,）,其中可能有重根，2）對(duì)每個(gè)不同的特征值 ，分別解齊次方程組 ，i ()x0i????3）求出方程組的基礎(chǔ)解析（注：設(shè) ，基礎(chǔ)解析為 、 、 、 ， 則矩陣 A 屬于特征值 的()iirr???A?12,?,inr?? i?全部特征向量為 （其中 ， 是不全為零12n+iirkk??、 、 、 12kinrk?的任意常數(shù)。 ）例 1，求矩陣 的特征值和特征向量？3462?????A???解：本題可以由特征方程 ，即0???A? 223474663(7)51)()????????當(dāng) 時(shí)， 得 ?410,2??????????A?????121,0。???????????????當(dāng) 時(shí)， 得 2?5482,40???????????????3,2??????當(dāng)所以 A 的特征值是 相應(yīng)的特征向量分別是1237,? 其中 123,k??(k,)(0k.?抽象矩陣，要根據(jù)特征值與特征向量的定義及性質(zhì)推導(dǎo)出特征值的取值。5例 2，設(shè) A 是 3 階矩陣， 是 3 維線性無關(guān)的列向量，且12,? 12312345,0????A???A?求矩陣 A 的特征值和特征向量。解：由 知 是 A 的特征值， 是 的特征向量。330,0?3?由已知條件，有 123123123123(,)(,45,0)=0,5??????????????（ ， ， ）記 由 線性無關(guān)，知矩陣 P 可逆，123(,),???123,? 其中 40,5????????因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?，而矩?B 的特征多項(xiàng)式 21403(1),5???????所以矩陣 A 的特征值是1，1,0.對(duì)于矩陣 B， ??????????????????所以矩陣 B 關(guān)于特征值 的特征向量是 =1?=??（ 2,1） 。若 即 那么矩陣 A 關(guān)于特征值 的特征向量是=??， ???A（ ） ， ? 123123=+?????????（ ， ， ） 。因此， 分別是矩陣 A 關(guān)于特征值 和 的特征1k232(),k?? =1?0?向量， （ ） 。0?6定義 1：設(shè) A，B 是 n 階矩陣，如存在可逆矩陣 P，使 則矩陣 A 與 B 相似，記,???? ?:利用特征值和特征向量解決矩陣的相似對(duì)角化，其解題步驟：第一歩，先求出矩陣 A 的特征值 ：12,n??第二步，再求出所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量 12,.n??第三歩，構(gòu)造可逆矩陣 P =（ ） ，則 12,.n?? 12=.n???????A???例 1，已知 求可逆矩陣 P，使得 102,3?????A??? .??解：由 2110(3)2(3)????????得矩陣 A 的特征值 13,0.?當(dāng) 時(shí)，對(duì) 3??210210(), ,????????????A??????的特征向量 12(,0),(,1).??當(dāng) 時(shí)，對(duì) 0?