理科數(shù)學(xué)第二章第一節(jié)(已修改)
2025-01-28 10:34 本頁面
【正文】 第一節(jié) 函數(shù)及其表示 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 考 綱 要 求 1． 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念． 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?(如圖象法、列表法、解析法 )表示函數(shù)． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用． 課 前 自 修 知識梳理 一、映射的概念 1．映射的定義：設(shè) A， B是兩個非空集合，如果按照對應(yīng)法則 f，對于集合 A中的任意一個元素，在集合 B中都有 ________的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做集合 A到集合 B的映射，記作 f： A→ B. 2．一一映射：在集合 A到集合 B的映射中，若 B中的任意一個元素在 A中有唯一的元素與它對應(yīng)，那么這樣的映射叫做從集合 A到集合 B的一一映射． 唯一 3．象與原象：對于給定的一個集合 A到集合 B的映射，且a∈ A， b∈ B，元素 a與元素 b對應(yīng)，那么元素 b叫做元素 a的________，元素 a叫做元素 b的 ________．設(shè)原象 a組成的集合為 M，則 M與 A的關(guān)系為 ________，設(shè)與原象 a對應(yīng)的象 b組成的集合為 C，則 C與 B的關(guān)系為 ________． 二 、 函數(shù)的概念 1． 函數(shù)的定義：設(shè) A， B是非空的數(shù)集 ， 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 f， 使對于集合 A中的任意一個數(shù) x， 在集合 B中都有唯一確定的數(shù) f(x)與它對應(yīng) ． 那么就稱 f： A→ B為從集合 A到集合 B的一個函數(shù) ． 記作 y＝ f(x)， x∈ A. 象 原象 M＝ A C?B 其中 x叫做自變量．自變量 x的取值范圍 (數(shù)集 A)叫做函數(shù)的定義域，與 x的值相對應(yīng)的 y值叫做函數(shù)值，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合 C＝ 叫做這個函數(shù)的值域．顯然值域C? B. 2．用映射的觀點來定義：如果 A， B都是非空的數(shù)集，那么從 A到 B的映射 f： A→ B叫做 A到 B的函數(shù)．原象的集合 A叫做函數(shù)的 ________，象的集合 C叫做函數(shù)的值域．顯然值域C? B. 注意 ：兩種定義雖然表述不同 ， 但其實質(zhì)是相同的 ． ?? | ( ) ,y y f x x A??定義域 3．函數(shù)的三要素： ________， ________， 三要素中，由于 ________可由 ________和 ________唯一確定，故也可說函數(shù)只有兩要素． 4．兩個函數(shù)能成為同一函數(shù)的條件是：定義域與對應(yīng)法則都相同． 三、函數(shù)的表示 1． 函數(shù)的表示方法． 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種． (1)解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式． (2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系． (3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系． 定義域 對應(yīng)法則 值域 值域 定義域 對應(yīng)法則 2．函數(shù)解析式的常用求法． (1)配湊法； (2)換元法； (3)待定系數(shù)法； (4)賦值法． 四、函數(shù)定義域的確定 1． 定義域是函數(shù)的靈魂，因此在研究函數(shù)時一定要遵循“ 定義域優(yōu)先 ” 的原則． 而確定函數(shù)的定義域的原則是： (1)當(dāng)函數(shù) y＝ f(x)是用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù) x的集合； (2)當(dāng)函數(shù) y＝ f(x)是用圖象給出時，函數(shù)的定義域是指圖象在 x軸上投影所覆蓋的實數(shù) x的集合； (3)當(dāng)函數(shù) y＝ f(x)是用解析式給出時，那么函數(shù)的定義域就是指使這個式子有意義的所有實數(shù) x的集合； (4)若 y＝ f(x)是由實際問題給出時，則函數(shù)的定義域由實際問題的意義確定． 2．由解析式表示的函數(shù)的定義域的求法． (1)若 f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集 R； (2)若 f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于 0的實數(shù)集； (3)若 f(x)是二次 (偶次 )根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于 0的實數(shù)集合； (4)若 f(x)是對數(shù)式，則函數(shù)的定義域是使真數(shù)的式子大于 0且底數(shù)大于 0并不等于 1的實數(shù)集合 ； (5)若 f(x)是指數(shù)式，則零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零； (6)若 f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合； (7)含參問題的定義域要分類討論． 五、分段函數(shù) 1． 分段函數(shù)的定義：在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，叫做分段函數(shù)．它是一類較特殊的函數(shù)． 2．分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．若函數(shù)為分段函數(shù)，則分別求出每一段上的解析式，再合在一起． 3．因分段函數(shù)在其定義域內(nèi)的不同子集上，其對應(yīng)法則不同而分別用不同的式子來表示，因此在求函數(shù)值時，一定要注意自變量的值所在的子集，而代入相應(yīng)的解析式去求函數(shù)值，不要代錯解析式． 4．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集
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