一定積分計(jì)算的基本公式(已修改)
2025-10-28 21:05 本頁(yè)面
【正文】 Yunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)算 一 定積分計(jì)算的基本公式 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，并且設(shè) x 為],[ ba 上的一點(diǎn)， ? xa dxxf )(考察定積分 ?? xa dttf )(記 ( ) ( ) .xax f t d t?? ?積分上限函數(shù) 如果上限 x 在區(qū)間 ],[ ba 上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的 x 值，定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在 ],[ ba 上定義了一個(gè)函數(shù)， Yunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)算 a b xyo定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfx xa??? )()( 在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 )()()( xfdttfdxdxxa??? ? ? )( bxa ?? xx ??證 dttfxx xxa??????? )()()()( xxx ????????dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()()(x?xYunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)算 ?dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(,)(? ??? xxx dttf由積分中值定理得 ( ) ,fx?? ? ? ?xx ??? ?,0),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????).()( xfx ?? ??a b xyo xx ??)(x?x.x x x? ??在 與 之 間Yunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)算 如果 )( tf 連續(xù)， )( xa 、 )( xb 可導(dǎo)， 則dttfxF xb xa?? )( )( )()( 的導(dǎo)數(shù) )( xF ? 為 補(bǔ)充 ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )f b x b x f a x a x????證 : ? ? dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0? ???dttfxb?? )(0 )( ,)()(0 dttfxa??? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ?????()()( ) ( )bxaxdF x f t d tdx? ? ?Yunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)算 例 1 求 .l i m 21co s02xdtextx? ??解 ? ?1c o s 2x t dtedxd ,c o s12? ??? x t dtedxd)( co s2c o s ???? ? xe x ,si n 2c o s xex ???21cos02lim xdtextx? ?? xex xx 2si nlim 2c o s0???? .21e?00分析： 這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則 . Yunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)算 例 2 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf .證明函數(shù)???xxdttfdtttfxF00)()()(在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?? ? 2000)()()()()()(??? ???xxxdttfdtttfxfdttfxxfxFYunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)算 ? ?,)()()()()( 200?? ???xxdttfdttftxxfxF)0(,0)( ?? xxf? ,0)(0? ?? x dttf,0)()( ?? tftx? ,0)()(0? ??? x dttftx).0(0)( ???? xxF故 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . Yunnan University 167。 4. 定積分的計(jì)
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