概率論第二章ppt課件(已修改)
2025-01-26 22:32 本頁面
【正文】 若隨機(jī)變量 X只取常數(shù)值 c，即 P{X=c}=1 這時(shí)分布函數(shù)為 ??????cxcxxI,1,0)( 幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律 X服從退化分布的充要條件是 DX=0，且 EX=a. 兩點(diǎn) (01)分布 若隨機(jī)變量 X的分布律為： P(X=k)=pk(1p)1k， k=0， 1， (0p1) 則稱 X服從以 p為參數(shù)的 01分布，記為 X~B(1,p)。 01分布的分布律也可寫成 X 1 0 P p 1p 即隨機(jī)變量只可能取 0， 1兩個(gè)值，且取 1的概率為 p，取 0的概率為 1p (0p1)，亦即 P(X=1)=p， P(X=0)=1p。 若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為 S={e1,e2},我們總能定義一個(gè)服從 01分布的隨機(jī)變量 ????發(fā)生時(shí)當(dāng)發(fā)生時(shí)當(dāng)2101eeX即它們都可用 01分布來描述，只不過對不同的問題參數(shù) p的值不同而已。 n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布 若隨機(jī)變量 X共有 n個(gè)不同的可能取值，且取每一個(gè)值的可能性相同，即 分布律為： P(X=xi)=1/n， i=0， 1,…,n 則稱 X服從 n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布。 容易算得： 12111()niiniiE X x xnD X x xn???????二項(xiàng)分布 (1)貝努里 (Bernoulli)試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀? 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足： 1176。 在相同條件下進(jìn)行 n次重復(fù)試驗(yàn)； 2176。 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果， A發(fā)生或 A不發(fā)生； 3176。 在每次試驗(yàn)中， A發(fā)生的概率均一樣，即 P(A)=p； 4176。 各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的， 則稱這種試驗(yàn)為貝努里概型或 n重貝努里試驗(yàn)。 在 n重貝努里試驗(yàn)中，人們感興趣的是事件 A發(fā)生的次數(shù)。 （ 2）二項(xiàng)分布定義 若隨機(jī)變量 X具有概率分布律 nkqpCkXP knkkn ,2,1,0,)( ???? ?其中 p+q=1， 則稱隨機(jī)變量 X服從以 n， p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為 X~B(n,p) （或稱貝努里分布）。 可以證明： nkqpCkXP knkkn ,2,1,0)( ????? ? 0,1)()( ????? ?????nnkknkknnkqpqpCkXP00knkkn qpC ? 正好是二項(xiàng)式 (p+q)n展開式的一般項(xiàng)，故稱二項(xiàng)分布。特別地，當(dāng) n=1時(shí) P(X=k)=pkq1k(k=0,1)即為01分布。 例 設(shè)有一大批產(chǎn)品，其次品率為 。今從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查 100件，試求所得次品件數(shù)的概率分布律。 解 （視作放回抽樣檢驗(yàn)） 設(shè) (X=k)表示事件 “ 100件產(chǎn)品中有 k件次品 ” ，則 X可能取值為 0， 1， 2， … ， 100。 本題可視作 100重貝努里試驗(yàn)中恰有 k次發(fā)生 (k件次品 )， X~B(100,)。 因此，所求分布律為 100,2,1,0,)( 100100 ???? ? kCkXP kkk二項(xiàng)分布的期望與方差 01( 。 , )nnk k n knkkE X k b k n p k C p q ???????DX=npq 1 1 ( 1 ) ( 1 )11nk k n knkn p C p q? ? ? ? ???? ?1( 1 )10nk k n knkn p C p q?????? ?10( 。 1 , )nkn p b k n p????? np?例 ：設(shè)有 80臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0． 01，且一臺設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由 4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé) 20臺；其二是由 3人共同維護(hù) 80臺．試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。 解 按第一種方法。以 X記 “ 第 1人維護(hù)的 20臺中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺數(shù) ” ，以 Ai(i＝ 1， 2， 3， 4)表示事件“ 第 i人維護(hù)的 20臺中發(fā)生故障不能及時(shí)維修 ” ，則知80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為 P(A1UA2UA3UA4)≥P(A 1)＝ P{X≥2} ． 而 X～ b(20， 0． 01)，故有 .)(.)()(201}{1}2{4321102010????????????????????????AAAAPkkXPXPkkkk即有 按第二種方法．以 Y記 80臺中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺數(shù)。此時(shí)， Y～ b(80， 0． 01)，故 80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為 我們發(fā)現(xiàn)，在后一種情況盡管任務(wù)重了 (每人平均維護(hù)約 27臺 )，但工作效率不僅沒有降低，反而提高了。 ??? ???????????? 3080 .)()(801}4{kkkkYP例 保險(xiǎn)事業(yè)是最早使用概率論的部門之一。保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤，需要計(jì)算各種各樣的概率，下面是典型問題之一。若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率等于0． 005，現(xiàn)有 10000個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn)，試求在來來一年中在這些保險(xiǎn)者里面， (1)有 40個(gè)人死亡的概率； (2)死亡人數(shù)不超過 70個(gè)的概率。 解 ] 作為初步近似，可以利用貝努里概型， n=10000． p=0． 005，設(shè) ?為未來一年中這些人里面死亡的人數(shù)，則所求的概率分別為 (1)b(40； 10000,) ?????????????????????????7001 0 0 0 07009 9 6 040)()(10000),10000。(}70{)2()()(4010000kkkkkkbP ?
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