【正文】 第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 本章內(nèi)容 ? 列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法 ? 非線性數(shù)學(xué)模型線性化 ? 傳遞函數(shù) ? 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖和系統(tǒng)傳遞函數(shù) ? 信號流圖和梅遜公式 ? 小結(jié) 本 章 重 點 ? 掌握 控制系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成和等效變換方法 ? 掌握傳遞函數(shù)的概念及其求取方法 ? 掌握 閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的基本概念 ? 梅遜公式的應(yīng)用 概述 1. 數(shù)學(xué)模型 描述系統(tǒng) 變量 之間關(guān)系的數(shù)學(xué) 表達(dá)式 2. 數(shù)學(xué)模型的主要形式 : (1) 外部描述法 : 輸入 輸出描述 (2) 內(nèi)部描述法 : 狀態(tài)變量描述 3. 建模的基本方法 : (1) 機(jī)理建模法 (解析法 ) (2) 實驗辯識法 數(shù)學(xué)模型是實驗裝置分析與設(shè)計 控制系統(tǒng)的前提 ? 已知控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ,可以進(jìn)行控制系統(tǒng)的性能分析； ? 已知被控對象數(shù)學(xué)模型 ,可以設(shè)計常規(guī)控制系統(tǒng) 。 工程控制中常用的數(shù)學(xué)模型有三種： ? 微分方程 時域描述 ? 傳遞函數(shù) 復(fù)域描述 ? 頻率特性 頻域描述 本節(jié)主要介紹傳遞函數(shù)與微分方程兩種數(shù)學(xué)模型 第一節(jié) 列寫系統(tǒng)微分方程的方法 線性系統(tǒng)微分方程的建立 步驟： 1. 確定系統(tǒng)的輸入量 (給定量和擾 動量 )與輸出量 (被控制量 , 也稱 為系統(tǒng)的響應(yīng) ) 2. 列寫系統(tǒng)各部分的微分方程 3. 消去中間變量 , 求出系統(tǒng)的微 分方程 （ 標(biāo)準(zhǔn)化 ） 。 例 編寫如圖 21所示 RC電路的微分方程式 圖 21 RC電路 解 : (1) 定輸入輸出量 : u1 (t) 輸入量 , u2(t) 輸出量 (2) 列寫微分方程 u1 = iR+u2 （ 3） 消去中間變量 ,可得電路微分方程式 122 uudtduRC ??左為輸出，降冪排列；右為輸入，降冪排列 解： 1. 確定輸入輸出量 : u (t) 輸入量 , uc(t) 輸出量 2. 以 作為中間變量，列寫該回路的微分方程 )(tidiLdt)(tuc )(tu)(tucc1 ? ()() cd u tid t i t Cdt??R L+_+_u ( t) u c (t)+_ yi( t)輸入 輸出Ri ? ???22( ) ( )L C ( )cccd u t d u tR C u t ud t d t? ? ?C例 22求圖示RLC回路的微分方程式 3. 消去中間變量 , 得微分方程 例 23求圖示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程 位移 牛頓力學(xué)定律 彈性系數(shù) F ( t ) f km y y y? ? ?22d y d y+ f + k F ( t )d t d tmy ?圖 22 Ku(t)my(t)b外力 F(t) 阻尼系數(shù) f 液位控制系統(tǒng) Q1 Q2 +q1 +q2 H +h 此時液位升高 趨于新的平衡 ? 分析： )]([)]([)( 2211 tqQtqQdt hHdC ?????)()(1)()( 21thtqtqtqdtdhC與量是我們感興趣的輸入輸出??考慮到平衡狀態(tài)時， H=定值， Q1=Q2 所以得消去中間變量 q2(t) )( thq ??? ?Rthtq ?)(2? 流體力學(xué)規(guī)律： ? 此為非線性，線形化處理后 )(1 tRQhdtdhRC ?? (2) 列寫微分方程式 。 電樞回路的微分方程式： 電動機(jī)的機(jī)械運動方程式： （ 3）消去中間變量。得電動機(jī)的動態(tài)微分方程式： ae a ddic n i R L udt? ? ?2eLe u aTT375T C iGD dnMdt? ? ??2Lm a m L a2e e udTd n d n 1 Rn ( T )d t d t C C Cdu dt? ? ? ?? ? ? ? ?例 24(1) 編寫電樞控制的直流他勵電動機(jī)的微分方程式 解： (1)確定輸入量和輸出量。 取輸入量為電動機(jī)的電樞電壓 ud， EG= ud 取輸出量為電動機(jī)的轉(zhuǎn)速 n 圖 23 直流他勵電動機(jī)電路圖 Ud= p17 中間變量 EG 電磁轉(zhuǎn)矩 負(fù)載轉(zhuǎn)矩（書中為 Td) 例 24(2). 試寫出圖 24所示直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程式 圖 25 GM 直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖 圖 24 GM 直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖 解 . 問題：與上 題有何聯(lián)系與 區(qū)別 自動控制理論 ? 放大器 11 Kuue?(24) 自動控制理論 ? 直流他勵 發(fā)電機(jī) 由電機(jī)學(xué)原理得： 把式（ 26）代入（ 25），則得 BBGBBiCLiCCEURidtdiL2111??????（ 25） （ 26） 12 UKEdtdEτGGG ??（ 27） RLCKRLG 12 。 ???式中 假設(shè)驅(qū)動發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速 n0恒定不變，發(fā)電 機(jī)沒有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機(jī)的磁化曲 線為一直線 ，即 Φ/ib =L。 圖 26 直流他勵發(fā)電機(jī)電路圖 自動控制理論 ? 直流他勵 電動機(jī) 被控制量是電動機(jī)的轉(zhuǎn)速 n控制量：發(fā)電機(jī)的電動勢 EG和負(fù)載轉(zhuǎn)矩 TL。 由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得 ? ? ）92（ 1820375）82（ 1375002222為電動機(jī)的空載轉(zhuǎn)速）（ 便蛻化為穩(wěn)態(tài)時，式時，電動機(jī)空載運行至當(dāng)常數(shù)稱為電動機(jī)的電氣時間常數(shù)；稱為電動機(jī)的機(jī)電時間式中，求得和變量消去上述方程中的中間nECnTRLCRGDdtdTTCCRECndtdndtnd，iTiCTdtdnGDTTEnCdtdiLRiGeLaumLaLueGemamaeaueLeGeaa???????????????????????????輸入量是電動機(jī)的轉(zhuǎn)速 n，輸出量是測速發(fā)電機(jī)的電壓 Ufn ，假設(shè)測速發(fā)電機(jī)的磁場恒定不變，則 Ufn與 n成線性關(guān)系即有 經(jīng)消元后得輸出量,動機(jī)的轉(zhuǎn)速n 為系統(tǒng)的電( 擾動) ,和負(fù)載轉(zhuǎn)矩T是經(jīng)定電壓u引起系統(tǒng)運動的輸入量而Lg11)(2 uuu 10)(2 a n u fngefn??? 測速發(fā)電機(jī)