數(shù)列與三角函數(shù)練習(xí)題難題(已修改)
2025-01-26 02:23 本頁(yè)面
【正文】 ［例1］已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=bqn－1=4(－2)n－1［例2］設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，An= (an－1)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=4n+3。(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)把數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明：數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式為dn=32n+1。解：(1)由An=(an－1)，可知An+1=(an+1－1)，∴an+1－an= (an+1－an)，即=3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n.(2)∵32n+1=332n=3(4－1)2n=3［42n+C42n－1(－1)+…+C4(－1)+(－1)2n］=4n+3，∴32n+1∈{bn}.而數(shù)32n=(4－1)2n=42n+C42n－1(－1)+…+C4(－1)+(－1)2n=(4k+1)，∴32n{bn}，而數(shù)列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.［例3］數(shù)列{an}滿足a1=2，對(duì)于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+anan+1－nan+12=0，又知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=2n－1+1.(1)求數(shù)列{an
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