【正文】 2022年 3月 運籌與優(yōu)化模型 第二章 初等分析優(yōu)化模型 ? 設(shè)備更新問題的數(shù)學(xué)模型 ? 確定性存儲問題數(shù)學(xué)模型 ? 隨機性存儲問題數(shù)學(xué)模型 第二章 初等分析優(yōu)化模型 第 1節(jié) 設(shè)備更新問題的優(yōu)化模型 ? 設(shè)備更新 是指對在技術(shù)上或經(jīng)濟上不宜繼續(xù)使用的設(shè)備，用新的設(shè)備更換或用先進的技術(shù)對原有設(shè)備進行局部改造。或者說是以結(jié)構(gòu)先進、技術(shù)完善、效率高、耗能少的新設(shè)備，來代替物質(zhì)上無法繼續(xù)使用，或經(jīng)濟上不宜繼續(xù)使用的陳舊設(shè)備。 設(shè)備更新的兩種形式 ? 一種是設(shè)備的原型更新 (叫簡單更新 )。 ? 是指用同類型的新設(shè)備代替舊設(shè)備。它適用于設(shè)備的技術(shù)壽命尚可但物質(zhì)壽命已盡，或設(shè)備制造廠受技術(shù)水平限制不能提供新的機型 ? 二是設(shè)備的技術(shù)更新。 ? 是指用技術(shù)上更加先進、效率更高的先進設(shè)備來代替技術(shù)壽命已盡、經(jīng)濟上不宜繼續(xù)使用的陳舊設(shè)備。 設(shè)備更新應(yīng)遵循的原則 ? (1)設(shè)備更新應(yīng)當結(jié)合企業(yè)的經(jīng)濟條件，有計劃、有重點、有步驟地進行。 ? (2)要做好調(diào)查摸底工作，根據(jù)企業(yè)的實際需要和可能，安排設(shè)備的更新工作。注意克服生產(chǎn)薄弱環(huán)節(jié)，提高企業(yè)的綜合生產(chǎn)能力。 ? (3)有利于提高生產(chǎn)的安全程度，有利于減輕工人勞動強度，防止環(huán)境污染。 ? (4)更新設(shè)備要同加強原有設(shè)備的維修和改造結(jié)合起來，如改造后能達到生產(chǎn)要求的，可暫不更新。 ? (5)講求經(jīng)濟效益，做好設(shè)備更新的技術(shù)經(jīng)濟分析工作。主要包括確定設(shè)備的最佳更新周期、計算設(shè)備投資回收期等。 設(shè)備的壽命 ? 設(shè)備的自然壽命 ? 設(shè)備的自然壽命，又稱物質(zhì)壽命。它是指設(shè)備從投人使用開始，直到因物質(zhì)磨損而不能繼續(xù)使用、報廢為止所經(jīng)歷的時間。它主要是由設(shè)備的有形磨損所決定的。 ? 設(shè)備的技術(shù)壽命 ? 設(shè)備的技術(shù)壽命，又稱有效壽命。它是指從設(shè)備開始使用到因技術(shù)落后而被淘汰所延續(xù)的時間，也即是指設(shè)備在市場上維持其價值的時期。技術(shù)壽命主要是由設(shè)備的無形磨損所決定的，它一般比自然壽命要短?？茖W(xué)技術(shù)進步越快，技術(shù)壽命越短。 ? 設(shè)備的經(jīng)濟壽命 ? 設(shè)備的經(jīng)濟壽命，是從經(jīng)濟的角度來看設(shè)備最合理的使用期限，具體言之，是指設(shè)備從投入使用開始，到團繼續(xù)使用經(jīng)濟上不合理而被更新所經(jīng)歷的時間。它是由維護費用的提高和使用價值的降低決定的。設(shè)備的經(jīng)濟壽命就是從經(jīng)濟觀點 (即成本觀點或收益觀點 )確定的設(shè)備更新的最佳時刻。 港作拖輪最佳經(jīng)濟壽命研究 設(shè)備更新問題的數(shù)學(xué)模型 ? 一、劣化數(shù)值法模型 ? 設(shè)備在使用過程中，由于磨損使其性能不斷下降，費用消耗上升，完全是一個低劣化的過程。因此采用低劣化數(shù)值法來確定設(shè)備的經(jīng)濟使用壽命，基本上包含了影響其經(jīng)濟使用壽命的主要因素，其公式為 ? 其中 T為經(jīng)濟使用壽命； k0 為設(shè)備原值；為各種影響因素的費用低劣化增長強度。 ? 此模型來源于運籌學(xué)中存貯論的經(jīng)濟訂購批量（ Economic ordering quantity）公式，簡稱 EOQ 公式或平方根公式。 ?/2 0kT ? 實際上，若假定設(shè)備經(jīng)過使用之后殘值為零，則每年費用為 k0 / T。隨著 T的增長，這種平均費用不斷減少。但是隨著T的增長，設(shè)備的磨損加劇，其維持費用又不斷上升，這就叫做機械設(shè)備低劣化。若這種低劣化每年以的數(shù)值增加，則第 T年的低劣化數(shù)為 λ T， T年中的平均低劣化值為 λ T / 2，據(jù)此，平均年費用效益損失 為求其最小值，令 ，即得前述平方根公式。 y T k T? ?? / /2 0dydT ? 0二、 最小平均成本法更新模型 最小平均成本法，是求這樣的設(shè)備使用年限 T，使平均成本 C (T ) 達到最小 其中 k 為設(shè)備原值， E(r) 為第 r 年維持費用， T 為使用年限。求 。 由于 T 是離散的，不能求微分，可用差分逼近，記 C Tk E rTrT( )( )????01m in ( )T c T ? C T C T C T( ) ( ) ( )? ? ?1 令 ，可近似地求出穩(wěn)定點 T *，這樣，得 從這個方程中近似地解出 T*，即為對應(yīng)最小平均成本的經(jīng)濟使用年限。 應(yīng)指出，求 ，相當于近似地求出。即 在實際應(yīng)用中，一般是采用這種求解算法來實現(xiàn)模型的求解。 ?C T( ) ? 0T E T E r krT? ? ? ? ???( ) ( )1 010m in ( )T C T m in {| ( ) ( ) | }TrTT E T E r k? ? ? ???1 01 考慮設(shè)備殘值的計算方法 ? 設(shè)備年平均總成本等于設(shè)備的年平均資產(chǎn)恢復(fù)成本與年度運營成本之和。它的計算公式如下： ? 式中： ? n—— 設(shè)備使用期限，在設(shè)備經(jīng)濟壽命計算中， n是一個自變量； ? j—— 設(shè)備使用年度， j的取值范圍為 1到 n； ? ACn—— n年內(nèi)設(shè)備的年平均總成本； ? K0—— 購置成本； ? Cj —— 在 n年使用期間的第 j年度設(shè)備的運營成本； ? Ln —— 設(shè)備在第 n年的凈殘值。 ?????njjnn CnnLKAC10 1? 如果設(shè)備的經(jīng)濟壽命為 m年，則 m應(yīng)滿足如下不等式： ? ACm+1≥ACm ； ACm1≥ACm 例 1： 某型號轎車購置費為 3萬元，在使用中有如下表的統(tǒng)計資料，如果不考慮資金的時間價值，試計算其經(jīng)濟壽命。 使用年度 j 1 2 3 4 5 6 7 j年度運營成本 5000 6000 7000 9000 11500 14000 17000 n年末殘值 15000 7500 3750 1875 1000 1000 1000 使用期限 n 資產(chǎn)恢復(fù)成本 K0Ln 年等額資產(chǎn)恢復(fù)成本 （ K0Ln)/n 年度運營成本 Cj 使用期限內(nèi)營運成本累計 年等額營運成本 年等額總成本 ⑦ =③ +⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1 15000 15000 5000 5000 5000 20220 2 22500 11250 6000 11000 5500 16750 3 26250 8750 7000 18000 6000 14750 4 28125 7031 9000 27000 6750 13781 5* 29000 5800 11500 38500 7700 13500* 6 29000 4833 14000 52500 8750 13583 7 29000 4143 17000 69500 9929 14072 解 ：該型轎車在不同使用期限的年等額總成本如下表所示： ??nj jC1 ??nj jCn 11? 由計算結(jié)果可以看出，該型號轎車使用 5年時，其年等額總成本最低（ AC5=13500元），使用期限大于或小于 5年時，其年等額總成本均大于 13500元，故該汽車的經(jīng)濟壽命為 5年。 在實際問題中，人們往往不只是考慮費用支出情況（即成本情況），也考慮收入情況，并且更重視的是經(jīng)濟效益。這樣，我們在構(gòu)造模型時，應(yīng)權(quán)衡費用支出與經(jīng)濟收入這兩方面的狀況做出綜合分析。前述兩種模型都只是著眼于一個方面。為此，我們考慮使用下面的模型來研究設(shè)備的更新，稱為最大總收益法?？紤] 式中： ? 設(shè)備 t年內(nèi)的總收益函數(shù)； ? 設(shè)備 t年內(nèi)的總收入函數(shù)； ? 設(shè)備 t年內(nèi)的總維持費用函數(shù)； ? 設(shè)備原值； ?三、最大總收益法 y t y t y t k( ) ( ) ( )? ? ?1 2 0yt( )y t1( )y t2( )k0k0 對 y(t)求最大值，可令 解得的 T 就是最佳經(jīng)濟使用年限。其幾何意義如圖所示 0/ ?dTdy 當設(shè)備費用很大時，利率對設(shè)備更新所產(chǎn)生的影響是應(yīng)當考慮的。為此，將上面的最大總收益法加以改進，成為下面的效益分析法?？紤] 式中： T — 設(shè)備使用年限；