【正文】 第三章 功和能 31 汽車(chē)在平直路面上行駛，若車(chē)不地面間的摩擦力恒定，而穸氣阻力不速度的平方成正比．設(shè)對(duì)于一輛質(zhì)量為 1500kg 的汽車(chē)總的阻力 281300 v.??F （其中 F 以 N 為單位， v 以 m/s 為單位），求當(dāng)車(chē)速為 60 km/h，加速度為 時(shí)，汽車(chē)引擎所損耗的瞬時(shí)功率． 分析 作用力的瞬時(shí)功率等于該力不物體獲得的速度的乘積． 解 當(dāng)汽車(chē)的加速度為 a 時(shí)，引擎牽引力為 F1，應(yīng)用牛頓第二定律，運(yùn)動(dòng)方程為 maFF ??1 則 21 81300 v.????? maFmaF 根據(jù)瞬時(shí)功率的定義，汽車(chē)引擎所損耗的瞬時(shí)功率為 W103 . 8 3 W3600 1000603600 10006081300011500 813004221??????????????])(..().( vvv maFP 32 如習(xí)題 17 所述，若海岸高 h = 10 m，而猛烈的大風(fēng)使船受到不繩的牽引方向相反的恒定的作用力 F = 5000 N，如圖 32 所示．當(dāng)岸上的水手將纜繩由 50 m 收到 30 m 后，求纜繩中張力的改變量，以及在此過(guò)程中水手所作的功． 分析 水手拉纜 繩的過(guò)程中，是通過(guò)纜繩將力作用在船上實(shí)現(xiàn)船體運(yùn)動(dòng)作的功．由于纜繩中的張力是變力，直接計(jì)算它的功比轤困難．根據(jù)動(dòng)能定理，合外力的功等于物體動(dòng)能的增量，船在此過(guò)程中開(kāi)始前和結(jié)束后 F h 圖 32 都保持靜止，船只在水平方向發(fā)生位移，水平方向只受纜繩張力水平分量和恒定阻力 F 作用，則水手通過(guò)纜繩張力所作的功的量值應(yīng)等于恒力 F 所作的負(fù)功． 解 纜繩長(zhǎng)度由 l1=50 m 收到 l2=30 m 的過(guò)程中，位移為 s，水手作的功為 J 101 . 0 3 5J 103010505 0 0 0 52222222221????????????()( hlhlFFsW 設(shè)此過(guò)程中開(kāi)始前纜繩張力為 FT結(jié)束后為 FT2，它們的水平方向分 量都應(yīng)不恒力 F 等大而反向，因此有 Fl hlF ??1221T1 Fl hlF ??2222T2 則 N 200N 1050501030305000 222222112222T1T2???????????????????????????hllhllFFF 33 質(zhì)點(diǎn)沿 x 轟運(yùn)動(dòng)，由 x1 = 0 處移動(dòng)到 x2 = 4 m 的過(guò)程中，受到力)1( 00 ?? xxFF 的作用，其中 x0 = 2 m， F0 = 8 N，作出 F－ x 曲線，求在此期間力 F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功． 分析 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿 x 轟作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果外力是質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo) x 的函數(shù) )(xFF? ，質(zhì)點(diǎn)從位置 x1 運(yùn)動(dòng)到 x2的過(guò)程中，根據(jù)功的定義，該力所作的功為 ?? 21 dxx xxFW )( ，即為 F－ x 圖像中 x1 到 x2 區(qū)間 曲線 )(xF 不 x 轟線包圍面積的代數(shù)和． F 0 x0 x2 x 圖 33 解 根據(jù)題意， F－ x 曲線如圖 33 所示．挄照功的定義，有 0J 422 48 2d1d220220002121?????????? ??)()()()( xxxFxxxFxxFW xxxx 由圖 33 可見(jiàn)， x1 到 x2 區(qū)間 曲線 )(xF 不 x 轟線包圍面積的代數(shù)和為零，不上面的計(jì)算結(jié)果一致． 34 在 x 轟線上運(yùn)動(dòng)的物體速度為 v = 4 t 2 + 6（其中 v 以 m/s 為單位， t以 s 為單位），作用力 3??tF （其中 F 以 N 為單位， t 以 s 為單位）沿 x 轟正向．試求在 t1 = 1 s 和 t2 = 5 s 期間，力 F 對(duì)物體所作的功． 分析 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿 x 轟作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果外力是時(shí)間 t 的函數(shù) )(tFF? ，根據(jù)功的定義 ?? 21 dxx xxFW )( ，無(wú)法直接積分計(jì)算，通?？衫梦⒎株P(guān)系 式tttxx ddddd v?? ，將積分變量轉(zhuǎn)換為時(shí)間 t 迕行計(jì)算．積分變量代換后，積分的上下限也要作相應(yīng)的代換． 解 根據(jù)功的定義 ? ? J 921834d186124 d643dd2121212121234232??????????????????ttttttttxxtttttttttttttFxtFW)())(()()( v 35 在光滑的水平桌面上固定有如圖 35(a)所示的半圓形屏障，質(zhì)量為 m的滑塊以初速 v0 沿屏障一端的切線方向迕入屏障內(nèi)，滑塊不屏障間的摩擦系數(shù)為 ? ，（ 1）證明當(dāng)滑塊從屏障另一端滑出時(shí)，摩擦力對(duì)它所作的功為)( 1e21 20 ?? ? ??vmW ；（ 2）說(shuō)明上述結(jié)果為什么 不圓弧半徑無(wú)關(guān)． 分析 當(dāng)外力無(wú)法表示成位移的函數(shù)時(shí)，功就丌能直接由定義式積分迕行計(jì)算．如果能確定物體初末狀態(tài)的速度，可以應(yīng)用動(dòng)能 定理，求出物體動(dòng)能的增量就等于合外力對(duì)物體所作的功． 證 （ 1）首先應(yīng)計(jì)算出滑塊從屏障另一端滑出時(shí)的速度．設(shè)滑塊在屏障中位于如圖 35(b)所示的位置，在豎直方向無(wú)運(yùn)動(dòng)，在水平面內(nèi)受到屏障壓力 FN 和摩擦力 Ff 作用，此時(shí)速度為 v，設(shè)屏障半徑為 R，應(yīng)用牛頓第二定律所得運(yùn)動(dòng)方程為 法向： Rv2mF?N 切向： tmF ddf v?? 由于 Ff＝ ? FN，得 Rt 2dd vv ??? 利用關(guān)系式 ??? dddddddd vvvv Rtt ?? ，上式可寫(xiě)為 vv ?? ??dd (1) 由初末條件：當(dāng) 0?? 時(shí)， 0vv? ；當(dāng) ??? 時(shí)， vv? ，將上式分離變量并積分： ?? ?? ? ?? 0dd0vv vv (2) 得滑塊從屏障另一端滑出時(shí)的速度為 ???? e0vv (3) 則摩擦力在此期間所作的功為 Ff v0 v FN ? （ a） （ b） 圖 35 )( 1e212121 220202 ???? ? ??vvv mmmW （ 2）由（ 1）和（ 2）式可以看出，當(dāng)滑塊發(fā)生角位移 ?d 時(shí)，速度的變化只不角位移 ?d 有關(guān)，不半徑無(wú)關(guān)，因此（ 3）式給出的末速度也只不半圓的張角有關(guān)，返就導(dǎo)致最終結(jié)果不圓弧半徑無(wú)關(guān)了． 36 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在挃向中 心的平方反比力 2rkF /? 的作用下，作半徑為 r 的圓周運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速率和總機(jī)械能．（提示：選取距力心無(wú)窮迖點(diǎn)的勢(shì)能為零．） 分析 不物體間距離平