【正文】 1 1　質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t 質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v ,速率為v,t 至(t ＋Δt)時(shí)間內(nèi)的位移為Δr, 路程為Δs, 位矢大小的變化量為Δr ( 或稱Δ｜r｜),平均速度為,平均速率為．(1) 根據(jù)上述情況,則必有(　　)(A) ｜Δr｜= Δs = Δr(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,當(dāng)Δt→0 時(shí)有｜dr｜= ds ≠ dr(C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,當(dāng)Δt→0 時(shí)有｜dr｜= dr ≠ ds(D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,當(dāng)Δt→0 時(shí)有｜dr｜= dr = ds(2) 根據(jù)上述情況,則必有(　　)(A) ｜｜= ,｜｜= 　　　 (B) ｜｜≠,｜｜≠ (C) ｜｜= ,｜｜≠ (D) ｜｜≠,｜｜= 分析與解　(1) 質(zhì)點(diǎn)在t 至(t ＋Δt)時(shí)間內(nèi)沿曲線從P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜｜r｜表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能)．但當(dāng)Δt→0 時(shí),點(diǎn)P′無限趨近P點(diǎn),則有｜dr｜＝ds,但卻不等于dr．故選(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故,即｜｜≠．但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可見,應(yīng)選(C)．1 2　一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見,即(1)；　(2)；　(3)；　(4)．下述判斷正確的是(　　)(A) 只有(1)(2)正確　　　 　(B) 只有(2)正確(C) 只有(2)(3)正確 (D) 只有(3)(4)正確分析與解　表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率．通常用符號(hào)vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式求解．故選(D)．1 3　一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有(　　)(A) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(D) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解　加速度的切向分量aｔ起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用．質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的．至于aｔ是否改變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定．質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), aｔ恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), aｔ為一不為零的恒量,當(dāng)aｔ改變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)．由此可見,應(yīng)選(B)． 1 4　質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為和，式中x,y 的單位為m,t 的單位為ｓ。試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析　由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向．解　(1) 速度的分量式為當(dāng)t ＝0 時(shí), vox ＝10 mｓ1 , voy ＝15 mｓ1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為α,則α＝123176。41′(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設(shè)a 與x 軸的夾角為β,則β＝33176。41′(或326176。19′)1 5　質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a＝4 t2 ,式中a的單位為mｓ2 ,t的單位為ｓ．如果當(dāng)t ＝3ｓ時(shí),x＝9 m,v ＝2 mｓ1 ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程．分析　本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決．由和可得和．如a＝a(t)或v ＝v(t),則可兩邊直接積分．如果a 或v不是時(shí)間t 的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分．解　由分析知,應(yīng)有得 (1)由 得 (2)將t＝3ｓ時(shí),x＝9 m,v＝2 mｓ1代入(1) (2)得v0＝1 mｓ1,x0＝ m．于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為1 6　飛機(jī)以100 mｓ1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問：(1) 此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？ 分析　物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)．忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)．到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的．因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解．此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度．為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角α或β．由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角α,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得．解　(1) 取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x ＝vt,　y ＝1/2 gt2飛機(jī)水平飛行速度v＝100 ms1 ,飛機(jī)離地面的高度y＝100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離1 7　一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng),v0 、b 都是常量．(1) 求t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度。分析　在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程s ＝s(t),對(duì)時(shí)間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量為an＝v2 /R．這樣,總加速度為a ＝aｔeｔ＋anen．至于質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量Δs＝st s0．因圓周長(zhǎng)為2πR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得．解　(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為1 8　 mｓ2上升, mｓ1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫, m．計(jì)算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離．分析　在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1 ＝y(tǒng)1(t)和y2 ＝y(tǒng)2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲)為參考系,這時(shí),螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度．升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程．解1　(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1 ＝y(tǒng)2 ,即 (2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為解2　(1)以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小a′＝g ＋a,螺絲落至底面時(shí),有(2) 由于升降機(jī)在t 時(shí)間內(nèi)上升的高度為則 1 9　一無風(fēng)的下雨天,一列火車以v1＝ mｓ1 的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75176。角下降．求雨滴下落的速度v2 ．(設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))分析　這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題．設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系Ｓ,火車為動(dòng)參考系Ｓ′．v1 為Ｓ′相對(duì)Ｓ 的速度,v2 為雨滴相對(duì)Ｓ的速度,利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解．解　以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為v1 ,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為 (如圖所示),于是可得1 10　如圖(a)所示,一汽車在雨中沿直線行駛,其速率為v1 ,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前θ 角,速率為v2′,若車后有一長(zhǎng)方形物體,問車速v1為多大時(shí),此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？分析　這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題．可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象,地面為靜參考系Ｓ,汽車為動(dòng)參考系Ｓ′．如圖(a)所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向(即雨點(diǎn)相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)速度v2′的方向)應(yīng)滿足．再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系,即可求出所需車速v1．解　由［圖(b)］,有而要使,則1 11　用水平力FN把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止．當(dāng)FN逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力Ff的大小(　　)(A) 不為零,但保持不變(B) 隨FN成正比地增大(C) 開始隨FN增大,達(dá)到某一最大值后,就保持不變(D) 無法確定分析與解　與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值μFN范圍內(nèi)取值．當(dāng)FN增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(A)．1 12　一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為μ,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率(　　)(A) 不得小于　　　　(B) 必須等于(C) 不得大于 (D) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解　由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為μFN．由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v＝μRg．因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑．應(yīng)選(C)．1 13　一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中,則(　　)(A) 它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加分析與解　由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)．重力的切向分量(m gcos θ) 使物體的速率將會(huì)不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程可判斷,隨θ 角的不斷增大過程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可見應(yīng)選(B)．1 14　圖(a)示系統(tǒng)置于以a ＝1/4 g 的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B 兩物體質(zhì)量相同均為m,A 所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計(jì)空氣阻力,則繩中張力為(　　)(A) 5/8 mg　　(B) 1/2 mg　　(C) mg　　(D) 2mg分析與解　本題可考慮對(duì)A、B 兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解．此時(shí)A、B 兩物體受力情況如圖(b)所示,圖中a′為A、B 兩物體相對(duì)電梯的加速度,ma′為慣性力．對(duì)A、B 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得FＴ ＝5/8 mg．故選(A)．討論　對(duì)于習(xí)題1 14 這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí),必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力．如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA 和aB 均應(yīng)對(duì)地而言,本題中aA 和aB的大小與方向均不相同．其中aA 應(yīng)斜向上．對(duì)aA 、aB 、a 和a′之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過程較繁．有興趣的讀者不妨自己嘗試一下．1 16　一質(zhì)量為m 的小球最初位于如圖(a)所示的A 點(diǎn),然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑．試求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力．分析　該題可由牛頓第二定律求解．在取自然坐標(biāo)的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,與其相對(duì)應(yīng)的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而與法向加速度an相對(duì)應(yīng)的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcosα．由此,可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man ．由于小球在滑動(dòng)過程中加速度不是恒定的,因此,需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡(jiǎn)便,可轉(zhuǎn)換積分變量． 倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡(jiǎn)便．但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力．解　小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到重力P 和圓軌道對(duì)它的支持力FN ．取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得 (1) (2)由,得,代入式(1),并根據(jù)小球從點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C 的始末條件,進(jìn)行積分,有得 則小球在點(diǎn)C 的角速度為由式(2)得　　 由此可得小球?qū)A軌道的作用力為負(fù)號(hào)表示F′N 與en 反向．1 17　光滑的水平桌面上放置一半徑為R 的固定圓環(huán),物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng),其摩擦因數(shù)為μ,開始時(shí)物體的速率為v0 ,求：(1) t 時(shí)刻物體的速率；(2) 當(dāng)物體速率從v0減少到1/2 v0時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程． 分析　運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動(dòng)力學(xué)問題．物體在作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中,促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對(duì)物體的支持力FN 和環(huán)與物體之間的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小與正壓力FN′成正比,且FN與FN′又是作用力與反作用力,這樣,就可通過它們把切向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系起來了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程．　　　　　　　　解　(1) 設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標(biāo),按牛頓定律,有由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得