【正文】 第八章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設(shè)計 數(shù)字濾波器的基本概念 例：有信號 要求用數(shù)字方法濾去 50Hz的成分 解：用 T= x(t)進行采樣 （ fs=250Hz）則 )100s i n ()10s i n ()()()( 21 tttxtxtx aaa ?? ????)()()()()()( 2121 nxnxnTxnTxnTxnx aaa ????? )()(51)(51)(51)(122222122nxknxknxknxnykkk????????????????)2(51)(51)( 140???? ??nxknxnyk輸出為五個信號采樣值的平均值。 ?????11)()(NNkk knxbny討論： （ 1）可以用數(shù)字方法實現(xiàn)濾波 （ 2）在數(shù)字濾波中，可以實現(xiàn)“非因果”的處理 （ 3）若本例中改為 50Hz和 500Hz組成的信號，采樣頻率為 2500Hz，數(shù)字濾波的結(jié)果是一樣的。因此數(shù)字濾波時，濾波參數(shù)和信號采樣頻率的相對值有關(guān)。 非因果系統(tǒng) ????Nkk knxbny0)()(因果系統(tǒng) 數(shù)字濾波器的基本概念 1. 數(shù)字濾波器的分類 數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應分類 ， 可以分成無限脈沖響應 (IIR)濾波器和有限脈沖響應 (FIR)濾波器 。 它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： 0110()1( ) ( )MrrrNkkkNnnbzHzazH z h n z?????????????() () 2 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器 。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) H(e jω)用下式表示： ()( ) ( )j j jH e H e e? ? ???圖 低通濾波器的技術(shù)要求 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用 dB數(shù)表示 ， 通帶內(nèi)允許的最大衰減用 αp表示 ， 阻帶內(nèi)允許的最小衰減用 αs表示 ， αp和 αs分別定義為： 00()20 lg()()20 lg()psjp jjs jHedBHeHedBHe??????() () 如將 |H(ej0)|歸一化為 1， ()和 ()式則表示成： 20 lg ( )20 lg ( )psjpjsH e dBH e dB????????() () 3. 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述 IIR濾波器和 FIR濾波器的設(shè)計方法是很不相同的 。IIR濾波器設(shè)計方法有兩類 ， 經(jīng)常用的一類設(shè)計方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進行的 。 其設(shè)計步驟是：先設(shè)計模擬濾波器得到傳輸函數(shù) Ha(s)， 然后將 Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 用脈沖響應不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字低通濾波器 為了保證轉(zhuǎn)換后的 H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求 ， 對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響 ，s平面的虛軸映射 z平面的單位圓 ， 相應的頻率之間成線性關(guān)系 。 圖 z=esT,s平面與 z平面之間的映射關(guān)系 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 Ha(s),相應的單位沖激響應是 ha(t) ( ) [ ( ) ]aaH s L T h t? 設(shè)模擬濾波器 Ha(s)只有單階極點 ， 且分母多項式 的階次高于分子多項式的階次 ， 將 Ha(s)用部分分式表 示： 1()Niai iAHsss?? ??() 式中 si為 Ha(s)的單階極點 。 將 Ha(s)進行逆拉氏 變換得到 ha(t)： 1( ) ( )iNs n taiih t A e u t?? ?() 式中 u(t)是單位階躍函數(shù)。對 ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到： 1( ) ( ) ( )iNs n Taiih n h n T A e u n T??? ?() 對上式進行 Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)： 11() 1iNisTiAHzez ??? ?? () 設(shè) ha(t)的采樣信號用 ha(t)表示 ， ^( ) ( ) ( )a anh t h t t n T??? ? ???? 對 進行拉氏變換，得到 : ^ ()aht^^( ) ( )[ ( ) ]()sta astans nTaH s h t e dth t nT e dth nT e???????????????????? 式中 ha(nT)是 ha(t)在采樣點 t=nT時的幅度值 ， 它與序列 h(n)的幅度值相等 ， 即 h(n)=ha(nT)， 因此 得到 : ^ ( ) ( ) ( ) ( )s T s Ts n T naz e z ennH s h n e h n z H z?? ??? ? ???() 上式表示采樣信號的拉氏變換與相應的序列的 Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 我們知道模擬信號 ha(t)的傅里葉變換 Ha(jΩ)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足()式，重寫如下： sTze? () ^ ()aht^ ()aHj?^^1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTaaskaaskaszekH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT?? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ????將 s=jΩ代入上式 ， 得 由 ()式和 ()式得到 : () () () 上式表明將模擬信號 ha(t)的拉氏變換在 s平面上沿虛軸按照周期 Ωs=2π/T延拓后 ， 再按照 ()式映射關(guān)系 ， 映射到 z平面上 ， 就得到 H(z)。 ()式可稱為標準映射關(guān)系 。 下面進一步分析這種映射關(guān)系 。 設(shè) jsjz re ??? ? ??按照 ()式 ， 得到 : j T j Tre e e?? ??因此得到 : TreT??? ?? ??? () 那么 σ=0,r=1 σ0,r1 σ0,r1 另外 ， 注意到 z=esT是一個周期函數(shù) ， 可寫成 2() ,j M Ts T T j T T Te e e e e M??? ????? 為任意整數(shù) 圖 z=esT,s平面與 z平面之間的映射關(guān)系 圖 脈沖響應不變法的頻率混疊現(xiàn)象 假設(shè) 沒有頻率混疊現(xiàn)象 ， 即滿足 按照 ()式 ， 并將關(guān)系式 s=jΩ代入 ， ω=ΩT， 代入得到： 令 ^ ()aHj?( ) 0 , /aH j T?? ? ? ?1( ) ( ),jaH e H jTT? ? ????11( ) ( )()1( ) ( / ) ,iaNisTijah n T h n TTAHzezH e H j T?? ? ????????? 一般 Ha(s)的極點 si是一個復數(shù) ， 且以共軛成對的形式出現(xiàn) ， 在 ()式中將一對復數(shù)共軛極點放在一起 ，形成一個二階基本節(jié) 。 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為 1112211()s js? ??? ? ? ?? ? ?極點為 () 可