【正文】 7 1 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 警惕過多地假設(shè)檢驗。你對數(shù)據(jù)越 苛求，數(shù)據(jù)會越多地向你供認，但 在威逼下得到的供詞，在科學詢查 的法庭上是不容許的 。 —— Stephen 統(tǒng)計名言 第 7 章 方差分析與實驗設(shè)計 方差分析的基本原理 單因子方差分析 雙因子方差分析 實驗設(shè)計初步 7 3 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 不同運動隊的平均成績之間是否有顯著差異？ ? 奧運會女子團體射箭比賽 ， 每個對有 3名運動員 。 進入最后決賽的運動隊需要進行4組射擊 ， 每個隊員進行兩次射擊 。 這樣 ，每個組共射出 6箭 ，4組共射出 24箭 ? 在 2022年 8月 10日進行的第 29屆北京奧運會女子團體射箭比賽中 ， 獲得前 3名的運動隊最后決賽的成績?nèi)缦卤硭? 7 4 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 不同運動隊的平均成績之間是否有顯著差異？ ? 每個隊伍的 24箭成績可以看作是該隊伍射箭成績的一個隨機樣本 。 獲得金牌 、 銀牌和銅牌的隊伍之間的射箭成績是否有顯著差異呢 ？ ? 如果采用第 6章介紹的假設(shè)檢驗方法 ， 用分布做兩兩的比較 ， 則需要做次比較 。 這樣做不僅繁瑣 ， 而且每次檢驗犯第 Ι類錯誤的概率都是 ， 作多次檢驗會使犯第 Ι類錯誤的概率相應(yīng)地增加 ， 檢驗完成時 ， 犯第 Ι類錯誤的概率會大于 。 同時 ， 隨著檢驗的次數(shù)的增加 ， 偶然因素導(dǎo)致差別的可能性也會增加 ? 采用方差分析方法很容易解決這樣的問題 ， 它是同時考慮所有的樣本數(shù)據(jù) ， 一次檢驗即可判斷多個總體的均值是否相同 ， 這不僅排除了犯錯誤的累積概率 ， 也提高了檢驗的效率 方差分析方法就很容易解決這樣的問題 ， 它是同時考慮所有的樣本數(shù)據(jù) ， 一次檢驗即可判斷多個總體的均值是否相同 ， 這不僅排除了犯錯誤的累積概率 ， 也提高了檢驗的效率 方差分析的基本原理 什么是方差分析？ 從誤差分析入手 在什么樣的前提下分析？ 第 7 章 方差分析與實驗設(shè)計 什么是方差分析？ 方差分析的基本原理 7 7 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 什么是方差分析 (ANOVA)? (analysis of variance) 1. 方差分析的基本原理是在 20世紀 20年代由英國統(tǒng)計學家 Ronald 數(shù)據(jù)而首先引入的 2. 檢驗多個總體均值是否相等 ? 通過分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等 3. 研究分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響 ? 一個或多個分類型自變量 ? 兩個或多個 (k 個 ) 處理水平或分類 ? 一個數(shù)值型因變量 4. 有單因子方差分析和雙因子方差分析 ? 單因子方差分析：涉及一個分類的自變量 ? 雙因子方差分析：涉及兩個分類的自變量 7 8 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 什么是方差分析 ? (例題分析 ) 【 例 】 確定超市的位置和競爭者的數(shù)量對銷售額是否有顯著影響，獲得的年銷售額數(shù)據(jù) (單位：萬元 )如下表 因子 水平或處理 樣本數(shù)據(jù) 7 9 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 什么是方差分析 ? (例題分析 ) 1. 如果只考慮 “ 超市位置 ” 對銷售額是否有顯著影響 ， 實際上也就是要判斷不同位置超市的銷售額均值是否相同 ? 若它們的均值相同 ， 意味著 “ 超市位置 ” 對銷售額沒有顯著影響；若均值不全相同 ， 則意味著 “ 超市位置 ” 對銷售額有顯著影響 ? “ 超市位置 ” 就是分類自變量 ， “ 銷售額 ” 則是數(shù)值因變量 。“ 超市位置 ” 是要檢驗的對象 ， 稱為 因子 (factor)， 商業(yè)區(qū) 、 居民小區(qū) 、 寫字樓是因子的 3個取值 ， 稱為 水平 (level)或 處理(treatment)。 每個因子水平下得到的銷售額為樣本 觀測值 2. 方差分析要解決的問題就是判斷超市的位置對銷售額是否有顯著影響 。 設(shè)商業(yè)區(qū) 、 居民小區(qū)和寫字樓 3個位置超市的銷售額均值是否相同 從誤差分析入手 方差分析的基本原理 7 11 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分解 ) 1. 總誤差 (total error) ? 反映全部觀測數(shù)據(jù)的誤差稱 ? 所抽取的全部 36家超市的銷售額之間差異 2. 隨機誤差 (random error)—組內(nèi)誤差 (withingroup error) ? 由于抽樣的隨機性造成的誤差 ? 反映樣本內(nèi)部數(shù)據(jù)之間的隨機誤差 3. 處理誤差 (treatment error)—組間誤差 (betweengroup error) ? 不同的處理影響所造成的誤差 ? 反映樣本之間數(shù)據(jù)的差異 7 12 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分解 ) 1. 數(shù)據(jù)的誤差用 平方和 (sum of squares)表示 ， 記為 SS 2. 總平方和 (sum of squares for total)記為 SST ? 反映全部數(shù)據(jù)總誤差大小的平方和 ? 抽取的全部 36家超市銷售額之間的誤差平方和 3. 組內(nèi)平方和 (withingroup sum of squares)記為 SS組內(nèi) ? 反映組內(nèi)誤差大小的平方和 ? 比如 ， 每個位置超市銷售額的誤差平方和 ? 只包含 隨機誤差 4. 組間平方和 (betweengroup sum of squares)記為 SS組間 ? 反映組間誤差大小的平方和 ? 比如 ， 同位置超市銷售額之間的誤差平方和 ? 既包括 隨機誤差 ， 也包括 處理誤差 7 13 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分解 ) 誤差平方和的分解及其關(guān)系 總誤差 總平方和 (SST) 隨機誤差 處理誤差 組內(nèi)平方和 (SS組內(nèi) ) 組間平方和 (SS組間 ) = = + + 7 14 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原理 (誤差分析 ) 1. 誤差的大小用均方 (mean square)來表示 ， 也稱為方差 (variance) ? 平方和除以相應(yīng)的自由度 ? 總平方和 (SST)的自由度為 n1；組內(nèi)平方和 (SS組內(nèi) )的自由度為 nk ；組間平方和 (SS組間 )的自由度為 k1 2. 組內(nèi)平方和除以相應(yīng)的自由度結(jié)果稱為 組內(nèi)方差(withingroup variance)；組間平方和除以相應(yīng)的自由度結(jié)果稱為 組間方差 (betweengroup variance) 7 15 統(tǒng)計學STATISTICS August 1, 2022 方差分析的基本原