【正文】 第五章 數列 第一節(jié) 數列的概念與簡單表示法 第二節(jié) 等差數列及其前 n項和 第三節(jié) 等比數列及其前 n項和 第四節(jié) 數列求和 第五節(jié) 數列的綜合問題 專家講壇 [備考方向要明了 ] 考 什 么 怎 么 考 和幾種簡單的表 示方法 (列表 、 圖 象 、 通項公式 ). 量為正整數的一 類函數 ． 數列的概念在高考試題中常與其他知識綜合進行考查 ， 主要有： (1)以考查通項公式為主 ， 同時考查 Sn與 an的關系 ， 如 2022年高考 T6等 ． (2)以遞推關系為載體 ， 考查數列的各項的求法 ， 如 2022年高考 T19等 . [歸納 知識整合 ] 1．數列的定義 按照 排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的 ．排在第一位的數稱為這個數列的第 1項 (通常也叫做 )． 一定順序 項 首項 2．數列的分類 分類原則 類型 滿足條件 項數 有窮數列 項數 無窮數列 項數 項與項 間的大小 關系 遞增數列 an＋ 1 an 其中 n∈ N* 遞減數列 an＋ 1 an 常數列 an＋ 1＝ an 擺動數列 從第 2項起有些項大于它的前一項 ，有些項小于它的前一項 有限 無限 ＞ ＜ 3．數列的表示法 數列的表示方法有列表法、圖象法、公式法． 4．數列的通項公式 如果數列 {an}的第 n項與 之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式． [探究 ] ？是否每個數列都有通項公式？ 序號 n 提示： 不唯一，如數列－ 1,1 ，－ 1,1 ， ? 的通項公式可以為a n ＝ ( － 1) n 或 a n ＝????? － 1 ， n 為奇數，1 ， n 為偶數 .有的數列沒有通項公式． 5．數列的遞推公式 若一個數列 {an}的首項 a1確定，其余各項用 an與 an－ 1的關系式表示 (如 an＝ 2an－ 1＋ 1， n＞ 1)，則這個關系式就稱為數列的遞推公式． [探究 ] ？ 提示： 通項公式法 遞推公式法 不同點 相同點 可根據某項的序號，直接用代入法求出該項 可根據第 1項或前幾項的值，通過一次或多次賦值，逐項求出數列的項，直至求出所需的項 都可確定一個數列，都可求出數列的任何一項 [自測 牛刀小試 ] 1 ． ( 教材習題改編 ) 已知數列 { a n } 的前 4 項分別為 2,0,2,0 ， ? ，則下列各式不可以作為數列 { a n } 的通項公式的一項是 ____. 解析： 若 a n ＝ 2s i nn π2 ，則 a 1 ＝ 2si nπ2 ＝ 2 ， a 2 ＝ 2 si n π ＝ 0 ， a 3 ＝ 2s i n3π2＝－ 2 ， a 4 ＝ 2 si n 2 π ＝ 0. ① a n ＝ 1 ＋ ( － 1)n ＋ 1； ② a n ＝ 2s i nn π2； ③ a n ＝ 1 － co s n π ； ④ a ＝????? 2 ， n 為奇數，0 ， n 為偶數 . 答案： ② 2．已知數列的通項公式為 an＝ n2－ 8n＋ 15，則 3是數列 {an}中的第 ________項． 解析：令 an＝ 3，即 n2－ 8n＋ 15＝ 3，解得 n＝ 2或 6，故 3是數列 {an}中的第 2項或第 6項． 答案： 2或 6 3 ． ( 教材習題改編 ) 在數列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＝ 1 ＋1a n － 1( n ≥ 2) ，則 a 5 ＝ ______. 解析： 由題意知， a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， a 3 ＝ 32 ， a 4 ＝ 53 ， a 5 ＝ 85 . 答案： 85 4 ． ( 教材改編題 ) 已知數列 2 ， 5 ， 2 2 ， ? ，根據數列的規(guī)律， 2 5 應該是該數列的第 ________ 項． 解析： 由于 2 ＝ 3 1 － 1,5 ＝ 3 2 － 1,8 ＝ 3 3 － 1 ， ? 故可知該數列的通項公式為 a n ＝ 3 n － 1 由 2 5 ＝ 3 n － 1 ， 得 n ＝ 7. 答案： 7 5．若數列 {an}的前 n項和 Sn＝ n2－ 10n(n＝ 1,2,3， …) ，則 此數列的通項公式為 an＝ ________；數列 {nan}中數值最小的項是第 ________項． 解析： 當 n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1 ＝ ( n2－ 10 n ) － [( n － 1)2－ 10( n － 1 )] ＝ 2 n － 11 ； ∵ 當 n ＝ 1 時， a1＝ S1＝－ 9 也滿足 ax＝ 2 n － 11 ∴ an＝ 2 n－ 1 1. ∴ nan＝ 2 n2－ 11 n ＝ 2??????n2－112n ＝ 2????????????n －1142－12116 ＝ 2??????n －1142－1218. 又 ∵ n ∈ N*， ∴ 當 n ＝ 3 時， nan取最小值． 答案： 2n－ 11 3 已知數列的前幾項求通項公式 [ 例 1] 根據數列的前幾項，寫出各數列的一個通項公式： ( 1) 4,6,8,10 ， ? ； ( 2)12，34，78，1516，3132， ? ； ( 3)12，14，－58，1316，－2932，6164， ? . [ 自主解答 ] ( 1 ) 各數都是偶數，且最小為 4 ，所以通項 an＝2( n ＋ 1) ( n ∈ N*) ． ( 2) 注意到分母分別是 21,22,23,24,25， ? ，而分子比分母少 1 ， 所以其通項 an＝2n－ 12n ( n ∈ N*) ． ( 3) 分母規(guī)律明顯，而第 2, 3,4 項的絕對值的分子比分母少 3 ，因此可考慮把第 1 項變?yōu)椋? － 32，這樣原數列可化為－21－ 321 ，22－ 322 ，－23－ 323 ，24－ 324 ，－25－ 325 ，26－ 326 ， ? 所以其通項 an＝ ( － 1)n2n－ 32n ( n ∈ N*) ． ————— ———————————— ————————————————————————— 用觀察法求數列的通項公式的技巧 用觀察歸納法求數列的通項公式，關鍵是找出各項的共同規(guī)律及項與項數 n的關系．當項與項之間的關系不明顯時，可采用適當變形或分解，以凸顯規(guī)律，便于歸納．當各項是分數時，可分別考慮分子、分母的變化規(guī)律及聯系，正負相間出現時，可用 (－ 1)n或 (－ 1)n＋ 1調節(jié)． 1 ．寫出下列數列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數： (1)23，415，635，863，1099， ? ； (2) － 1 ，13，－935，1763，－3399， ? ； (3) 9,99,999,9 999 ， ? . 解： ( 1) 分子是連續(xù)的偶數，且第 1 個數是 2 ，所以用 2 n 表示；分母是 22－ 1,42－ 1,62－ 1,82－ 1,102－ 1 ，所以用 (2 n )2－ 1 表示．所以 an＝2 n? 2 n ?2－ 1＝2 n4 n2－ 1( n ∈ N*) ． ( 2) 正負交替出現，且奇數項為負，偶數項為正，所以用 ( － 1)n表示； 1 ， 13， 935， 1763， 3399， ? ? ? ? ? ? 31 3， 53 5， 95 7， 177 9， 339 11， ? 分母是連續(xù)奇數相乘的形式，觀察和項數 n 的關系，用 (2 n －1) (2 n ＋ 1) 表示； 分子是 21＋ 1,22＋ 1, 23＋ 1,24＋ 1 ，用 2n＋ 1 表示．所以 an＝ ( － 1)n2n＋ 1? 2 n － 1 ?? 2 n ＋ 1 ?＝ ( － 1)n2n＋ 14 n2－ 1( n ∈ N*) ． (3) 9 ， 99 ， 999 ， 999 9 ， ? ? ? ? ? 101－ 1 ， 102－ 1 ， 103－ 1 ， 104－ 1 ， ? 所以 an＝ 10n－ 1( n ∈ N*) ． 由 an與 Sn的關系求通項公式 [例 2] 已知數列 {an}的前 n項和為 Sn＝ 3n－ 1，求它的通項公式 an. [自主解答 ] 當 n≥2時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 3n－ 1－ (3n－ 1－ 1)＝ 23n－ 1；當 n＝ 1時， a1＝ S1＝ 2也滿足 an＝ 23n－ 1. 故數列 {an}的通項公式為 an＝ 23n－ 1. 解： ∵ a 1 ＝ S 1 ＝ 12－ 1 ＋ 1 ＝ 1 ， 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ ( n2－ n ＋ 1) － [( n － 1)2－ ( n － 1) ＋ 1] ＝ 2 n － 2. ∴ a n ＝????? 1 ? n ＝ 1 ? ，2 n － 2 ? n ≥ 2 ? . 若將 “Sn＝ 3n－ 1”改為 “Sn＝ n2－ n＋ 1”，如何求解？ ————— ———————————— 已知 S n 求 a n 時應注意的問題 數列的通項 a n 與前 n 項和 S n 的關系是 a n ＝????? S 1 ， n ＝ 1 ，S n － S n － 1 ， n ≥ 2.當 n ＝ 1 時， a 1 若適合 S n － S n － 1 ，則 n ＝ 1的情況可并入 n ≥ 2 時的通項 a n ；當 n ＝ 1 時， a 1 若不適合S n － S n － 1 ，則用分段函數的形式表示． 解 ： 由 a1＝ S1＝16( a1＋ 1 ) ( a1＋ 2) ， 解得 a1＝ 1 或 a1＝ 2. 由已知 a1＝ S11 ， 因此 a1＝ 2. 又由 an ＋ 1＝ Sn ＋ 1－ Sn ＝16( an ＋ 1＋ 1) ( an ＋ 1＋ 2) －16( an＋ 1 ) ( an＋ 2) ， 得 an ＋ 1－ an－ 3 ＝ 0 或 an ＋ 1＝－ an. 因為 an0 ，故 an ＋ 1＝－ an不成立，舍去． 因此 an ＋ 1－ an－ 3 ＝ 0 ，即 an ＋ 1－ an＝ 3 ， 從而 { an} 是公差為 3 ，首項為 2 的等差數列，故 { an} 的通項