【正文】 公式為 an＝ 3 n － 1. 2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和滿足 Sn1，且 6Sn＝ (an＋ 1)(an＋ 2)， n∈ N*.求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式． 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 [ 例 3] 根據(jù)下列條件 ， 確定數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 ． ( 1 ) a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ； ( 2 ) a 1 ＝ 1 ， a n ＝n － 1na n － 1 ( n ≥ 2 ) ； ( 3 ) a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 3 n ＋ 2. [ 自主解答 ] ( 1) ∵ an ＋ 1＝ 3 an＋ 2 ， ∴ an ＋ 1＋ 1 ＝ 3( an＋ 1) ，即an ＋ 1＋ 1an＋ 1＝ 3. ∴ 數(shù)列 { an＋ 1} 為等比數(shù)列，公比 q ＝ 3. 又 a1＋ 1 ＝ 2 ， ∴ an＋ 1 ＝ 2 3n － 1. ∴ an＝ 2 3n － 1－ 1. ( 2) ∵ an＝n － 1nan － 1( n ≥ 2) ， ∴ an － 1＝n － 2n － 1an － 2， ? ， a2＝12a1. 以上 ( n － 1) 個(gè)式子相乘得 an＝ a11223? n － 1n＝a1n＝1n. (3) ∵ an ＋ 1－ an＝ 3 n ＋ 2 ， ∴ an－ an － 1＝ 3 n － 1( n ≥ 2) ， ∴ an＝ ( an－ an － 1) ＋ ( an － 1－ an － 2) ＋ ? ＋ ( a2－ a1) ＋ a1＝ n ? 3 n ＋ 1 ?2( n ≥ 2) ． 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a1＝12 (3 1 ＋ 1) ＝ 2 符合公式， ∴ an＝32n2＋n2. 由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解． 當(dāng)出現(xiàn) an ＝ an－ 1＋ m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝ xan－ 1＋ y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) ＝ f(n)時(shí)，用累乘法求解． anan－ 1 3 ． ( 2022 大綱全國 卷 ) 已知數(shù)列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ，前 n 項(xiàng)和S n ＝n ＋ 23a n . ( 1) 求 a 2 ， a 3 ； ( 2) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式． 解 ： ( 1) 由 S2 ＝43a 2 得 3( a 1 ＋ a 2 ) ＝ 4 a 2 ， 解得 a 2 ＝ 3 a 1 ＝ 3 ； 由 S 3 ＝53a 3 得 3( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＝ 5 a 3 ， 解得 a 3 ＝32( a 1 ＋ a 2 ) ＝ 6. ( 2) 由題設(shè)知 a1＝ 1. 當(dāng) n 1 時(shí)有 an＝ Sn－ Sn － 1＝n ＋ 23an－n ＋ 13an － 1， 整理得 an＝n ＋ 1n － 1an － 1. 于是 a1＝ 1 ， a2＝31a1， a3＝42a2， ? an － 1＝nn － 2an － 2， an＝n ＋ 1n － 1an － 1， 將以上 n 個(gè)等式兩端分別相乘，整理得 an＝n ? n ＋ 1 ?2. 綜上可知，數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式 an＝n ? n ＋ 1 ?2. 數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 [例 4] 已知數(shù)列 {an}． (1)若 an＝ n2－ 5n＋ 4， ①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？ ② n為何值時(shí)， an有最小值？并求出最小值． (2)若 an＝ n2＋ kn＋ 4且對于 n∈ N*，都有 an＋ 1an成立．求實(shí)數(shù) k的取值范圍． [自主解答 ] (1)①由 n2－ 5n＋ 40，解得 1n4. ∵ n∈ N*， ∴ n＝ 2,3. ∴ 數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為 a2， a3. ②∵ an＝ n2－ 5 n ＋ 4 ＝??????n －522－94的對稱軸方程為 n ＝52. 又 n ∈ N*， ∴ n ＝ 2 或 n ＝ 3 時(shí)， an有最小值，其最小值為a2＝ a3＝－ 2. ( 2) 由 an ＋ 1 an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式 an＝ n2＋ kn ＋ 4 ，可以看作是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，考慮到 n∈ N*，所以－k232，即得 k － 3. 以上 ( n － 1) 個(gè)式子相乘得 an＝ a11223? n － 1n＝a1n＝1n. ( 3) ∵ an ＋ 1－ an＝ 3 n ＋ 2 ， ∴ an－ an － 1＝ 3 n － 1( n ≥ 2) ， ∴ an＝ ( an－ an － 1) ＋ ( an － 1－ an － 2) ＋ ? ＋ ( a2－ a1) ＋ a1＝ n ? 3 n ＋ 1 ?2( n ≥ 2) ． 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a1＝12 (3 1 ＋ 1) ＝ 2 符合公式， ∴ an＝32n2＋n2. ————— ———————————— —————————————————————————— 函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用 (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)的思想方法來解決． (2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用：①作差；②作商；③結(jié)合函數(shù)圖象等方法 . 4 ．若數(shù)列??????n ? n ＋ 4 ???????23n 中的最大項(xiàng)是第 k 項(xiàng)，則 k ＝________. 解析： 法一： 由題意知， ????? k ? k ＋ 4 ???????23k≥ ? k － 1 ?? k ＋ 3 ???????23k － 1，k ? k ＋ 4 ???????23k≥ ? k ＋ 1 ?? k ＋ 5 ???????23k ＋ 1， 解得 10 ≤ k ≤ 1 ＋ 10 . ∵ k ∈ N*， ∴ k ＝ 4. 法二 ： 設(shè) an＝ n ( n ＋ 4)??????23n， 則 an ＋ 1－ an＝ ( n ＋ 1) ( n ＋ 5)??????23n ＋ 1－ n ( n ＋ 4)??????23n ＝??????23n??????23? n ＋ 1 ?? n ＋ 5 ? － n ? n ＋ 4 ? ＝??????23n10 － n23. 當(dāng) n ≤ 3 時(shí) ， an ＋ 1－ an＞ 0 ， 即 an ＋ 1＞ an， 當(dāng) n ≥ 4 時(shí)， an ＋ 1－ an＜ 0 ，即 an ＋ 1＜ an. 故 a1＜ a2＜ a3＜ a4，且 a4＞ a5＞ a6＞ ? ， 所以數(shù)列中最大項(xiàng)是第 4 項(xiàng)． 答案： 4 3 類問題 —— 數(shù)列通項(xiàng) 公式 的求法及最大 ( 小 ) 項(xiàng)問題 ( 1) 由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式常用的方法有： ① 求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式； ② 將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用疊加法、累乘法、迭代法． 1 個(gè)關(guān)系 —— 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． (2) 由 Sn與 an的遞推關(guān)系求 an的常用思路有： ① 利用 Sn－ Sn － 1＝ an( n ≥ 2) 轉(zhuǎn)化為 an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式； ② 轉(zhuǎn)化為 Sn的遞推關(guān)系，先求出 Sn與 n 的關(guān)系，再求 an. (3) 數(shù)列 { an} 的最大 ( 小 ) 項(xiàng)的求法：可以利用不等式組????? an － 1≤ an，an≥ an ＋ 1，找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式組????? an － 1≥ an，an≤ an ＋ 1，找到數(shù)列的最小項(xiàng) . 創(chuàng)新交匯 ——數(shù)列與函數(shù)的交匯問題 1．?dāng)?shù)列的概念常與函數(shù)、方程、解析幾何、不等式等相結(jié)合命題． 2．正確理解、掌握函數(shù)的性質(zhì) (如單調(diào)性、周期性等 )是解決此類問題的關(guān)鍵． [ 典例 ] ( 2022 上海高考 ) 已知 f ( x ) ＝11 ＋ x. 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 2 ＝ f ( a n ) ．若 a 2 0 1 0 ＝ a 2 0 1 2 ，則 a 20 ＋ a 11的值是 ________ ． [ 解析 ] ∵ a n ＋ 2 ＝11 ＋ a n，又 a 2 0 1 0 ＝ a 2 0 1 2 ＝11 ＋ a 2 0 1 0， ∴ a22 0 1 0 ＋ a 2 0 1 0 ＝ 1. 又 a n 0 ， ∴ a 2 0 1 0 ＝5 － 12. 又 a 2 0 1 0 ＝11 ＋ a 2 0 0 8＝5 － 12， ∴ a2 0 0 8＝5 － 12，同理可得 a2 0 0 6＝ ? ＝ a20＝5 － 12. 又 a1＝ 1 ， ∴ a3＝12， a5＝11 ＋ a3＝23， a7＝11 ＋ a5＝35， a9＝11 ＋ a7＝58， a11＝11 ＋ a9＝813. ∴ a20＋ a11＝5 － 12＋81 3＝13 5 ＋ 326. [ 答案 ] 13 5 ＋ 326 2 ． 解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn) ( 1) 正確求出數(shù)列 { a n } 的遞推關(guān)系式； ( 2) 正確利用遞推公式 a n ＋ 2 ＝11 ＋ a n，分別從首項(xiàng) a 1 推出 a 11 和從a 2 0 1 0 推出 a 20 . 1 ． 本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn) ( 1) 數(shù)列 { a n } 的遞推關(guān)系式，以函數(shù) f ( x ) ＝11 ＋ x為載體間接給出； ( 2) 給出的遞推關(guān)系式不是相鄰兩項(xiàng)，即 a n 與 a n － 1 ( n ≥ 2) 之間的關(guān)系，而是給出 a n 與 a n ＋ 2 之間的關(guān)系式，即奇數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之間的遞推關(guān)系． [名師點(diǎn)評 ] [變式訓(xùn)練 ] 1 ．已知數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 33 ， a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n ，則a nn 的最小值為 ________. 解析：由已知條件可知：當(dāng) n≥2時(shí)， an＝ a1＋ (a2－ a1)＋