【正文】 三角形單元 11:11 2 引 言 ? 桿梁結(jié)構(gòu)：由于有自然的連接關(guān)系，可以憑一種直覺將其進(jìn)行自然的離散。 ? 連續(xù)體：它的內(nèi)部沒有自然的連接節(jié)點(diǎn)，必須完全通過人工的方法進(jìn)行離散。 三維問題 平面問題 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 平面問題平面應(yīng)力平面應(yīng)變 離散 11:11 3 三節(jié)點(diǎn)平面三角形單元 x, u y, v 1 ( x 1 , y 1 ) ( u 1 , v 1 ) 2 ( x 2 , y 2 ) ( u 2 , v 2 ) 3 ( x 3 , y 3 ) ( u 3 , v 3 ) A f sx f sy 112233 euvuvuv??????????? ???? ? ? ????????? ????? ?d節(jié)點(diǎn) 1的位移 節(jié)點(diǎn) 2的位移 節(jié)點(diǎn) 3的位移 三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)可假設(shè)為： ? ?? ?1 2 34 5 6,u x y x yv x y x y? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ???“ 位移函數(shù) ” 也稱 “ 位移模式 ” ，是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是坐標(biāo)的函數(shù) 。有限元分析必須事先給出（設(shè)定）位移函數(shù)。一般而論， 位移函數(shù)選取會(huì)影響甚至嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度 。彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事情。 有限單元法中當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛐r(shí)，把位移函數(shù)設(shè)定為簡單的多項(xiàng)式也可得到相當(dāng)精確的結(jié)果 。這正是有限單元法具有的重要優(yōu)勢之一。 引入位移函數(shù)的概念： 11:11 4 平面三角形單元 顯然，三角形三個(gè)節(jié)點(diǎn)的的位移可由下列方程給出，在各節(jié)點(diǎn)上的水平位移方程為： u1=?1+?2 x1 +?3 y1 u2=?1+?2 x2 +?3 y2 u3=?1+?2 x3 +?3 y3 解出 ? ? ? ?11 1 12 2 23 3 31, 1 11x y uu x y x y x y ux y u?? ? ? ?????? ????????? ? ? ?11 1 1 12 2 2 23 3 3 3111x y ux y ux y u????? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?11:11 5 平面三角形單元 ? ? ? ?1111 2 3 2 2331111xyN N N x y x yxy??????????假設(shè) 求得 ? ?? ?? ?1 2 3 3 2 2 3 3 22 3 1 1 3 3 1 1 33 1 2 2 1 1 2 2 11( ) ( )21( ) ( )21( ) ( )2N x y x y y y x x x yAN x y x y y y x x x yAN x y x y y y x x x yA? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????11223311121xyA x yxy?其中 A是三角形的面積 11:11 6 平面三角形單元 ? ? 1 1 2 2 3 3,v x y N v N v N v? ? ?式中 N1， N2和 N3是坐標(biāo)的函數(shù)，反映了單元內(nèi)近似解的形態(tài)，稱為單元的形函數(shù)， 數(shù)學(xué)上它反應(yīng)了由節(jié)點(diǎn)的場量對(duì)單元內(nèi)任意一點(diǎn)場量的插值 ，也叫做插值函數(shù)。 三個(gè)函數(shù)其實(shí)描述的就是單元上近似解的插值關(guān)系，它決定了近似解在單元上分布的形狀，所以稱它為形函數(shù)（ shape function）。這里值得注意一下的是近似解，前面我們說過，假設(shè)位移模式是線性變化的，實(shí)際情況并不一定是線性變化的，所以我們通過所做假設(shè)得到的結(jié)果只能說是近似解，而不能說是精確解。 為什么叫形函數(shù) ? ? ? 1 1 2 2 3 3,u x y N u N u N u? ? ?同理 ( , ) ( , ) ex y x y?u N d11:11 7 平面三角形單元 ? ?12i i i iN a b x c yA? ? ?其中 i j k i = 1, 2, 3 j = 2, 3, 1 k = 3, 1, 2 i j k mmjjjmmji yxyxyxyxa ???mjmii yyyyb11????mjjmi xxxxc11???1211iijjmmxyA x yxy?三角形的形函數(shù)可統(tǒng)一表示為： 11:11 8 形函數(shù)的性質(zhì) 在單元任一點(diǎn)上三個(gè)形函數(shù)之和等于 1(單位分解性 ) 1. 三個(gè)形函數(shù)只有兩個(gè)是獨(dú)立的 2. 當(dāng)三角形單元的三個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移相等 *i j mu u u u? ? ?**( , ) ( )i i j j m m i j mu x y N u N u N u N N N u u? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , ) ( , )1( ) ( ) ( )2i j mi j m i j m i j mN x y N x y N x ya a a b b b x c c c yA????? ? ? ? ? ? ? ? ???第一列與它的代數(shù)余子式乘積之和 第一列與第二列的代數(shù)余子式乘積之和 第一列與第三列的代數(shù)余子式乘積之和 2A 0 0 1?11:11 9 形函數(shù) Ni 在節(jié)點(diǎn) i 上的值等于 1，在其它節(jié)點(diǎn)上的值等于 0。 0),(0),(1),( ??? mmijjiiii yxNyxNyxN0),(1),(0),( ??? mmjjjjiij yxNyxNyxN1),(0),(0),( ??? mmmjjmiim yxNyxNyxNNi =1 i j m Nj =1 i j m Nm =1 i j m 形函數(shù)的性質(zhì) 11:11 10 在三角形單元的邊界 ij上任一點(diǎn)（ x， y），有 : 形函數(shù)的性質(zhì) 0),(),(1),( ???????? yxNxx xxyxNxx xxyxN mijijijiix xi xj x y N i(xi，yi) j (xj， yj) m (xm， ym) Ni(x、 y) 1 證 jijixxxxyxN???1),(ijijijiijiji xxxxxxxxxxxxxxyxN???????????? 1),(( , ) ( , ) ( , ) 1i j mN x y N x y N x y? ? ?()jiii j imiimyyyyx x x xby y x xc?????? ? ?ij方程 11:11 11 形函數(shù)的性質(zhì) 相鄰單元的位移在公共邊上是連續(xù)的 i j p m 0),(),(1),( ???????? yxNxx xxyxNxx xxyxN mijijijii形函數(shù)在單元上的面積分和邊界上的線積分公式為 ? ?? ?? ijij iA i ldlNAdx dyN 213式中 為 邊的長度。 ijl ijx xi xj x y N i(xi， yi) j (xj， yj) m (xm， ym) Ni(x、 y) 1 Ni =1 i j m 11:11 12 形函數(shù)的性質(zhì) ? 完備性 — 包含常應(yīng)變項(xiàng)和剛體位移項(xiàng) ? 如果在勢能泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是 m階，則選取的位移函數(shù) 至少 是 m階 完全多項(xiàng)式 。 ? 協(xié)調(diào)性 — 相鄰單元公共邊界保持位移連續(xù) ? 如果在勢能泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是 m階，則位移函數(shù)在 單元交界面 上必須具有直至 (m1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即 Cm1連續(xù)性 。 如果在單