【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0 0 00 0 0 0 0 00 0 01 0 0 020 0 e e eii ij imenn e e eji jj jmem i mU???K K Kd K d u u u u uK K KKK1231 00 0 0 0 0 0neenj m m???????????????????????????????????????????uuuuuKm i j m i j 單元編號(hào) ijm eeeeU dKd T21?11:11 27 單元等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣的擴(kuò)充疊加 ? ?T1 2 3 10 0eieen n jemW????????????????? ????????????????fd f u u u u u ffm i j TeeeW ? df單元編號(hào) ijm 11:11 28 能量原理和系統(tǒng)平衡方程 TT12UW? ? ? ? ?d K d d f系統(tǒng)勢(shì)能 根據(jù)彈性力學(xué)能量原理： 結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡的必要和充分條件是總勢(shì)能有極小值 。 0??? 0?? fKdfKd ?上式是從能量原理導(dǎo)出的系統(tǒng)平衡方程。這個(gè)方程表達(dá)了節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。 11:11 29 剛度矩陣 單元?jiǎng)偠染仃嚕? ?? Ve VdT DBBK1 1 1 22 1 2 2 1 1( ) ( ) 1 1 eee eee T e eeeelKK EAx E A x d xlKK?? ??? ? ??? ???????K B BTT e e eii ij ime e e eji jj jmAe e em i m j m mh d x d y tA????? ? ???????K K KK B D B B D B K K KK K K1D: 2D: 系統(tǒng)剛度矩陣： 1eNee ?? ?KK彈性矩陣 D的對(duì)稱性 Ke對(duì)稱 K對(duì)稱 11:11 30 剛度矩陣 剛度矩陣 K的詳細(xì)內(nèi)容為 ： ssNNjNiNNNjNjjjijjiNijiiiiNjiNjiNNKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKssssssssss???????????????????????????????????????????????????????????????????21212122222211111211Ki、 j是行列號(hào) ， Ns為系統(tǒng)自由度數(shù)。 11:11 31 剛度矩陣 (1) 剛度矩陣中每個(gè)元素有明確的物理意義 。例如， Kij表示當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移中第 j個(gè)元素為 1(dj=1)其余元素為零時(shí)，引起的單元力中的第 i個(gè)節(jié)點(diǎn)力 fi。 把平衡方程寫(xiě)開(kāi) 主對(duì)角線上元素 Kii(i=1, Ns)恒為正值： 位移和作用力同向 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ssssssssssssNjiNjiNNjNiNNNjNjjjijjiNijiiiiNjiNjifffffdddddKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK?????????????????????????????????????????????21212121212222221111121111:11 32 剛度矩陣 (2) K的每一行或每一列元素之和為零 以上式中第 i行為例 : iNiNjijiiiii fdKdKdKdKdK ss ???????? ???2211f2i1 =0 f2i =0 f2j1=0 f2j=0 f2m1 =0 f2m =0 i j m x y i j m 1 1 當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)沿 x向或 y向都產(chǎn)生單位位移時(shí) ， 單元作平動(dòng)運(yùn)動(dòng) ，無(wú)應(yīng)變 ， 也無(wú)應(yīng)力 ， 因而單元結(jié)點(diǎn)力為零 （ 不含初應(yīng)力 ） 。 所以有 即， K的每一行元素之和為零。由于對(duì)稱性，每一列元素之和也為零。 021 ???????? siNijiiii KKKKK ???11:11 33 剛度矩陣 (3) 系統(tǒng)剛度矩陣是奇異矩陣（ 即 K的行列式為零） (4) 系統(tǒng)剛度矩陣是常量矩陣 系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移成線性關(guān)系是基于彈性理論的結(jié)果。 剛度矩陣是在系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)的前提下得出的。作用在它上面的外力必定是平衡力系。然而， 研究系統(tǒng)平衡時(shí)沒(méi)有引入約束 。承受平衡力系作用的無(wú)約束系統(tǒng)， 其變形是確定的，但位移不是確定的 。所以出現(xiàn)性質(zhì)（ 2）中的“平動(dòng)問(wèn)題”，即可以發(fā)生任意的剛體運(yùn)動(dòng)。從數(shù)學(xué)上講，系統(tǒng)平衡方程的解不是唯一的或不能確定的。由此， 系統(tǒng)剛度矩陣一定是奇異的。 單元?jiǎng)偠染仃囈惨欢ㄊ瞧娈惖?。 11:11 34 位移邊界條件的處理 系統(tǒng)剛度矩陣是奇異矩陣 ，其 物理原因是結(jié)構(gòu)缺少剛性位移的約束，實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)都受有足夠的支承約束，排除了發(fā)生任何剛體位移的可能性，因此， 必須引入位移約束 。 有限元中，位移約束都設(shè)置在節(jié)點(diǎn)處。這里，只討論剛性約束情況，即被約束的位移分量為零。 設(shè)討論的結(jié)構(gòu)有 Nn個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有 ndf個(gè)自由度。則系統(tǒng)的總自由度為 Ns，且 dfns nNN ??節(jié)點(diǎn)總位移列向量 d中共包含 Ns個(gè)分量 ? ? T1 sNi ddd ???d11:11 35 為了引入位移約束，把節(jié)點(diǎn)總位移列向量 d分成兩部分。一部分是不受約束的位移分量，記為 df。另一部分是受剛性約束的位移分量，記為 dr。 不失一般性，設(shè) 1～ N號(hào)位移分量是不受約束的； N+1～ N+Nr共 Nr個(gè)分量是受剛性約束的。 即： ?????????????????????????????????rNNNNNdddddd??2121, rf dd位移邊界條件的處理 11:11 36 位移邊界條件的處理 ? ? ? ?? ???????????????111rsNNNrfddd顯然 不受約束的節(jié)點(diǎn)位移的總數(shù) N為 N=NsNr 對(duì)方程中的剛度矩陣 K和節(jié)點(diǎn)荷載向量列陣 f也作相應(yīng)分割，則得到 ???????????????????rfrfrrrffrffffddKKKK式中， ff是已知力邊界， fr是約束反力。 ???????rfddd11:11 37 位移邊界條件的處理 按矩陣乘法規(guī)則得 frfrfff fdKdK ??每個(gè)受剛性支承約束的位移分量都等于零，即 0dr