【正文】 元交界面上位移不連續(xù)，表現(xiàn)為當(dāng)結(jié)構(gòu)變形時(shí)將在相鄰單元間產(chǎn)生縫隙或重疊，這意味著將引起無限大的應(yīng)變 ，這時(shí)必然會(huì)發(fā)生交界面上的附加應(yīng)變能補(bǔ)充到系統(tǒng)的應(yīng)變能中去，有限元解就不可能 收斂 于真正解。 收斂 —— 單元尺寸趨于零時(shí)，有限元解趨于真解 11:11 13 形函數(shù)的性質(zhì) ? 當(dāng)單元的位移函數(shù)滿足完備性要求時(shí)，稱單元是完備的（通常較容易滿足）。當(dāng)單元的位移函數(shù)滿足協(xié)調(diào)性要求時(shí)，稱單元是協(xié)調(diào)的。 ? 當(dāng)勢(shì)能泛函中位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 2階時(shí)，要求位移函數(shù)在單元的交界面上具有 C1或更高的連續(xù)性，這時(shí)構(gòu)造單元的插值函數(shù)往往比較困難。在某些情況下，可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求，只要單元能夠通過 分片試驗(yàn) (Patch test)，有限元分析的解答仍然可以收斂于正確的解。這種單元稱為非協(xié)調(diào)單元。 分片試驗(yàn) 由 ，已經(jīng)證明它給出了收斂性的充分條件。 11:11 14 單元應(yīng)變和應(yīng)力矩陣 ? ? ? ? 0( , )( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , )( , ) xy e exyxu x yx y x y x y x yv x yyyx??????????? ???? ?? ???? ? ? ? ? ? ??? ?? ??? ???????? ??????????ε u N d B d應(yīng)變矩陣 1 2 31 2 3 0 0 0 0( , ) [ ] 0 0 0 0 xN N NxyN N Nyyx???????????? ?? ? ? ????? ??????????????BN11:11 15 單元應(yīng)變和應(yīng)力矩陣 ? ?1 2 31 2 3 1 2 31 1 2 2 3 3 0 0 01( , ) 0 0 0 2 b b bx y c c cAc b c b c b????????B B B B3121 1 2 2 3 31 1 2 2 33 0 0 00 0 0 bbbc c cc b c b cb??? ? ? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??B B B 由于 與 x、 y無關(guān) ， 都是常量 ， 因此 B矩陣也是常量 。 單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量是 B矩陣與單元節(jié)點(diǎn)位移的乘積 ， 因而也都是常量 。 因此 ， 這種單元被稱為常應(yīng)變單元 。 332211 ,, cbcbcbA11:11 16 單元應(yīng)變和應(yīng)力矩陣 21 0( , ) 1 0 ( , )110 0 2xxyyx y x yEx y x y?? ?? ? ???????? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?????σ D ε平面應(yīng)力： ( , ) ( , ) ( , ) ( , )eex y x y x y x y? ? ?σ D ε D B d S d? ? ? ?1 2 3 1 2 3( , ) xy ? ? ?S D B D B B B S S S2 2 ( 1 )1 1 22iii i i iiibcEbcAcb????????????????S DB應(yīng)力矩陣 平面應(yīng)變：用平面應(yīng)變彈性矩陣代入得到類似結(jié)果。 11:11 17 單元應(yīng)變和應(yīng)力矩陣 由于同一單元中的 D、 B矩陣都是常數(shù)矩陣 ， 所以 S矩陣也是常數(shù)矩陣 。 也就是說 ， 三角形三節(jié)點(diǎn)單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量 。 當(dāng)然 ， 相鄰單元的 E， ?， A和 bi、 ci(i， j， m)一般不完全相同 ，因而具有不同的應(yīng)力 ， 這就造成在相鄰單元的公共邊上存在著應(yīng)力突變現(xiàn)象 。 但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分 ， 這種突變將會(huì)迅速減小 。 11:11 18 單元分析 ? ?61e ?d? ?31? ?? ?36B ?幾何關(guān)系位移函數(shù) ? ?33D ?本構(gòu)關(guān)系 ? ?31? ?平衡關(guān)系 ? ?61F ?? ? ? ?? ?36S D B? ?66 ?e? ?K單元?jiǎng)偠染仃? 11:11 19 單元應(yīng)變能 ????????AAxyxyyyxxhd x dyhd x dyUεσ T21)(21?????????? ?? AA hdx dyhdx dyU D εεεσ TT 2121? ? eAeA eehdx dyhdx dy dDBBdD BdBd ???? ?? TTTT 2121單元應(yīng)變能 U為： TTTT )( DεD εσ ??e?ε Bdi j m x y h 注意到彈性矩陣 D的對(duì)稱性 11:11 20 剛度矩陣 引入剛度矩陣 K： ??? Ae h d x d yDBBK TeeeU dKdT21?則： 注意： hdxdy的實(shí)質(zhì)是任意的微體積 dv，于是得 Ke的一般式： ?? Ve VdT DBBK11:11 21 單元外力功 單元受到的外力一般包括體積力 、 表面力和集中力 。 自重屬于體積力范疇 。 表面力指作用在單元表面的分布載荷 ， 如風(fēng)力 、 壓力 ，以及相鄰單元互相作用的內(nèi)力等 。 i j m x y qV i j m x y qs i j m x y fc ???????VyVxV qqq???????sysxs qqq???????cycxc fff11:11 22 單元外力功 （ 1）體積力所做的外力功 i j m x y qV ? ? ???? ??? A VA VyVxV h d x d yh d x d yvquqW qu Te?u N d??? A VeV h d x d yW qNd TT?? V VeV VW dTT qNd11:11 23 單元外力功 （ 2）面力所做的外力功 ? ? ?? ??? l Sl SySxS hdlhdlvquqW qu Te?u N d?? l SeS h d lW qNd TT?? ?? t VeSW dTT qNdi j m x y qs ① ② ③ ④ qs 11:11 24 單元外力功 （ 3）集中力所做的外力功 cecW fd T? i j m x y fc 當(dāng)結(jié)構(gòu)受到集中力時(shí)，通常在劃分單元網(wǎng)格時(shí)就把集中力的作用點(diǎn)設(shè)置為節(jié)點(diǎn)。于是單元集中力 fc的勢(shì)能 Vc為 綜合以上諸式，單元外力的總外力功 V為 ? ? eecVVeceVeVeCSVttttWWWWfdfqNqNdfdqNdqNdTTTTTTTTTdddd??????????????????????cVVettfqNqNf ????? ?? ?? dd TT11:11 25 系統(tǒng)勢(shì)能 Kdd T1 21?? ??NeeUU擴(kuò)充疊加 TT12UW? ? ? ? ?d K d d fT1NeeWW???? df TeeeW ? df擴(kuò)充疊加 系統(tǒng)勢(shì)能 eeeeU dKd T21?11:11 26 單元?jiǎng)偠染仃嚨臄U(kuò)充疊加 ? ?T1 2 3 10 0 0